Урок 1. Все правила действий с обыкновенными дробями, десятичными дробями, смешанными числами и их комбинациями.
СПОЙЛЕР. Образцы с подробными решениями и комментированием будут приведены в последующих публикациях (уроках).
В задания 6 - типа под общим названием "Числа и вычисления" включены 4 темы:
Действия с обыкновенными дробями (урок 2)
Действия с десятичными дробями (урок 3)
Действия с обыкновенными и десятичными дробями (урок 4)
Степени (урок 5)
Кроме этих тем, по умолчанию, в каждой теме содержатся действия с положительными и отрицательными числами. Иными словами, задания этого типа можно было бы сформулировать, как "Решите пример".
Разумеется, чтобы выполнять действия над числами внутри каждого из видов чисел, надо знать соответствующие правила. Которых немало. Приведу вашему вниманию, все.
Действия с обыкновенными дробями
- Сложение (вычитание) обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями.
Чтобы выполнить сложение (вычитание) обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями, надо:
1) числители сложить (вычесть), результат записать в числитель; 2) знаменатель переписать в знаменатель без изменения.
2. Сложение (вычитание) обыкновенных дробей с разными знаменателями.
Чтобы выполнить сложение (вычитание) обыкновенных дробей с разными знаменателями, надо:
1) привести дроби к наименьшему общему знаменателю, т.е. найти их НОК (наименьшее общее кратное);
2) найти дополнительные множители к каждой из дробей. Для этого общий знаменатель разделить на знаменатель соответствующей дроби;
3) перемножить числители на соответствующий дополнительный множитель; 4) далее выполнить сложение (вычитание) числителей, результат записать в числитель, а в знаменателе записать общий знаменатель.
3. Умножение обыкновенных дробей.
Чтобы выполнить умножение обыкновенных дробей, надо:
1) перемножить числители, результат записать в числитель; 2) перемножить знаменатели, результат записать в знаменатель.
Примечание 1. Чтобы умножить обыкновенную дробь на натуральное число, которое хорошо делится на знаменатель этой дроби, можно это натуральное число разделить на знаменатель и результат умножить на числитель.
Примечание 2. Чтобы умножить обыкновенную дробь на натуральное число, которое плохо делится на знаменатель этой дроби, надо это натуральное число умножить на числитель, результат записать в числитель, а знаменатель переписать без изменения.
Примечание 3. Чтобы умножить обыкновенную дробь на десятичную дробь, группа цифр которой образуют натуральное число, которое хорошо делится на знаменатель обыкновенной дроби, можно эту десятичную дробь разделить на знаменатель и умножить на числитель.
Примечание 4. Чтобы умножить обыкновенную дробь на десятичную дробь, группа цифр которой плохо делится на знаменатель обыкновенной дроби, надо эту десятичную дробь записать в виде обыкновенной дроби* (*для этого записать в числитель десятичную дробь без запятой, а в знаменатель записать число, которое состоит из единицы с соответствующим количеством нулей, равным количеству цифр после запятой. Если слева есть нули, то их не писать)
Примечание 5. Чтобы умножить обыкновенную дробь на смешанное число, надо смешанное число перевести в неправильную обыкновенную дробь* (*для этого целую часть смешанного числа умножить на знаменатель, к получившемуся произведению прибавить числитель, результат записать в числитель, а знаменатель переписать без изменения). Далее по правилу умножения обыкновенных дробей. Примечание 6. Чтобы перемножить смешанные числа, надо каждую из них перевести в неправильную обыкновенную дробь* (*для этого целую часть смешанного числа умножить на знаменатель, к получившемуся произведению прибавить числитель, результат записать в числитель, а знаменатель переписать без изменения). Далее по правилу умножения обыкновенных дробей.
4. Деление обыкновенных дробей.
Чтобы выполнить деление обыкновенных дробей надо:
1) делимое оставить без изменения;
2) знак деления заменить знаком умножения; 3) делитель перевернуть;
4) далее выполнить умножить обыкновенных дробей.
Действия с десятичными дробями
1. Сложение и вычитание десятичных дробей.
Чтобы выполнить сложение или вычитание десятичных дробей надо: 1) уравнять количество цифр после запятой, приписав недостающими цифрами нули; 2) записать числа друг под другом, так чтобы запятая была под запятой;
3) сложить или вычесть, не обращая внимания на запятую; 4) поставить запятую под запятой.
2. Умножение десятичных дробей.
Чтобы выполнить умножение десятичных дробей надо:
1) перемножить десятичные дроби, не обращая внимания на запятые; 2) в полученном произведении отсчитать справа столько же цифр, сколько их после запятой во всех множителях вместе, и поставить запятую.
3.1.Деление десятичной дроби на натуральное число.
Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, надо:
1) разделить десятичную дробь на натуральное число, не обращая внимания на запятую; 2) когда закончится деление целой части поставить в частном запятую, и продолжить деление дробной части, при этом приписывая при необходимости нули в неограниченном количестве.
3.2.Деление на десятичную дробь.
Чтобы выполнить деление десятичных дробей надо:
1) перенести запятую в делителе в конец десятичной дроби;
2) далее в делимом перенести запятую вправо на столько цифр насколько мы перенесли ей в делителе;
3)выполнить деление на натуральное число;
Примечание 1. Если в делимом натуральное число, то после натурального запятую ставим сами и потом переносим её. Примечание 2. Если в делимом стоит обыкновенная дробь, то десятичную дробь переписать в виде обыкновенной дроби и далее по правилу деления обыкновенных дробей. Примечание 3. Если при делении получается бесконечное деление, то его надо записать в виде дробного выражения, в числителе которой записана десятичная дробь - делимое, а в знаменателе - десятичная дробь - делитель. Далее в числителе и знаменателе перейти к натуральным числам, умножив числитель и знаменатель на одно и тоже число (легче всего на число 10, 100, 1000,...) и в завершении дробь сократить.
Действия с положительным и отрицательными числами
1. Сложение отрицательных чисел.
Чтобы выполнить сложение отрицательных чисел, надо:
1) поставить знак «минус»; 2) модули сложить.
2. Сложение положительного и отрицательного чисел.
Чтобы выполнить сложение положительного и отрицательного чисел:
1) поставить знак того числа, модуль которого больше;
2) из большего модуля вычесть меньший модуль.
3.Вычитание отрицательных и положительных чисел.
Чтобы выполнить вычитание положительного и отрицательного чисел, надо: 1) первое число переписать без изменения; 2) знак вычитания заменить на знак сложения; 3) второе число заменить на противоположное. Далее по правилу сложения положительных и отрицательных чисел.
4. Умножение (деление) отрицательных чисел.
Чтобы выполнить умножение (деление) двух отрицательных чисел надо:
1) поставить знак «плюс»; 2) перемножить (поделить) модули.
5.Умножение (деление) положительного и отрицательного чисел.
Чтобы выполнить умножение (деление) положительного и отрицательного чисел, надо:
1) поставить знак "минус";
2) перемножить (поделить) модули.