Учиться в классе проекта «Математическая вертикаль» сложно, но и интересно. Во-первых, это сообщество учеников, которое поддерживает друг друга в решении самых сложных задач. Во-вторых, уроков математики гораздо больше. В-третьих, ты получаешь возможность примирения полученных знаний на практике.
На уроках статистики и теории вероятности 8 класс разбирал различные игры: правила, вероятности победы и стратегии.
Игральные кости
Очень часто изучение вероятностей начинают с подбрасывания монетки (если учитель выкинул «орла») или не начинают (если выпала «решка»). Игральные кости - следующий уровень сложности. Легко догадаться, что выпадение любого числа (от 1 до 6) происходит с одинаковой вероятностью. А если кидать сразу два кубика? Или один кубик два раза? Вот тогда-то все становится не уж и так очевидно, особенно, если нужно высчитать сумму выброшенных очков.
Любое исследование начинается с гипотезы. Каждый из учеников предположил что-то свое, после чего настала пора экспериментов. Мы начинаем! Кубики в студию!
После нескольких минут выяснилось, что выпадение 7 очков в сумме происходит чаще остальных. Теперь важно обработать результаты. Когда в таблицу записаны все варианты выпадения сумм, становится понятно, почему 7 выпадает чаще всего.
Разделив количество благоприятных исходов (например, сумма «7» выпадает 6 раз, а сумма 2 выпадает всего один раз) на общее количество исходов (их всего 36), получим вероятность выпадения каждой суммы.
- Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.
Внимание! Творческое задание! Ребятам необходимо было создать игру, в которой выпавшая сумма влияла бы на события в игре. Большинство работ, конечно, было посвящено теме казино, но появились и интересные идеи: изобрести такую настольную игру, в которой по-разному могут разворачиваться события.
Особо искушенные читатели, вероятно, проведут параллели с известной серией «Подземелья и Драконы», а любители мультсериала Gravity Falls вспомнят серию про Вероятника, в которой Диппер и Форд занимались больше математикой, чем весельем (по мнению окружающих). Но разве математика бывает скучной?:)
Парадокс Монти Холла
Представьте, что вы играете в популярную на телевидении викторину. Правила следующие: за одной из трех дверей находится приз. Вы можете выбрать любую, после чего ведущий откроет другую дверь, за которой ничего нет и спросит, меняете ли вы свой выбор? Интуитивно кажется, что вероятности одинаковые (есть две закрытые двери, а значит задача сводится к задаче с монеткой).
Как бы вы поступили? Многие не меняют свой выбор, ведь вероятности победы и поражения кажутся одинаковыми. Менять уже принятое решение людям психологически тяжело, даже если они не правы (встречали такие ситуации в обычной жизни, да?)
После обсуждения правил игры, каждая парта провела свою симуляцию: сначала 10 игр, в которой игрок всегда оставлял выбранную дверь, потом 10 игр, в которой игрок каждый раз менял свое решение. После чего была создана таблица количества побед первой стратегии (не менять дверь) и второй стратегии (менять дверь).
Оказалось, что при второй стратегии победа получалась в среднем в двух случаях из трех, а при первой - лишь в одном случае из трех.
После экспериментальной проверки данных ученики использовали компьютерный симулятор, который сыграл 1000 раз, подтвердив соотношение побед и поражений.
Так почему же так происходит? Объяснение простое: когда вы выбираете дверь, вероятность, что за ней приз равна 1 к 3, а вероятность, что приз в двух других дверях - 2 к 3. Когда же из этих двух дверей открывают пустую, вероятности не перераспределяются, ведь это всё еще те двери, а мы знаем вероятность нахождения в них приза. Таким образом, получается, существует 2 шанса из 3, что за закрытой дверью находится приз. Это действительно тяжело принять, поэтому ученики проводят эксперимент. Подробнее можно узнать об этом в данной статье.
Дилемма Заключенного
Диле́мма заключённого — фундаментальная проблема в теории игр, согласно которой рациональные игроки не всегда будут сотрудничать друг с другом, даже если это в их интересах.
Такое определение обычно дается в учебниках.
В жизни (которая, как говорил Шекспир, тоже игра) все гораздо сложнее. Но все же некоторые взаимодействия можно смоделировать. Например, в игре «Красное/Черное». Она довольно известна в детских лагерях (например, в родном для Василия Александровича лагере «Искатель»), а ещё в различных тренингах на взаимодействие.
Правила следующие: игроки делятся на команды-цивилизации, которые никак не могут коммуницировать друг с другом, но однажды сталкиваются друг с другом и должны принять решение, что делать во время взаимодействия: конфликтовать (красное) или сотрудничать (черное). Если две цивилизации конфликтуют, обе теряют 1 очко, а если обе сотрудничают, то тогда обе получают 1 очко. Если одна цивилизация выбирает конфликт, а другая предлагает сотрудничать, то первая команда получает 2 очка, а вторая - теряет 2.
Командам озвучивают самое главное - необходимо набрать максимальное количество баллов. И здесь начинаются первые проблемы: мирная стратегия выглядит менее привлекательной, потому что когда тебя атакуют, ты теряешь очки. И кажется, что атаковать выгоднее.
Как эта игра связана с темами курса теории вероятностей? Здесь решают люди, а не случай. Именно поэтому такая игра полезна, ведь и в жизни всё зависит от людей. Математика беспристрастна. И этот опыт ребята получили на первых двух занятия. Данная игра позволяет показать, что иногда решения продиктованы не холодным расчетом, а принимаются импульсивно и эмоционально.
Давайте же узнаем, какие получились результаты.
После 7 напряженных раундов, очки команд сложились следующим образом: -21, -7, -2, 3. Выглядит, будто четвертая команда победила. Но это только на первый взгляд. Давайте поставим вопрос иначе: Вселенная, в которой происходила игра, стала прогрессивнее или нет? Уверен, вы скажите, что произошел упадок.
А какой была задача в игре? Правильно, набрать максимум очков. Но не было сказано ни о победе, ни о максимуме очков на команду. Ведь мир - это не игра с нулевой суммой. И если бы каждая команда всегда выбирала сотрудничество, то счет каждой стал бы равен 21.
Очень часто правила игры вынуждают игроков вести себя неразумно, хотя необходимо стараться в каждом взаимодействии искать место для сотрудничества. Здесь можно порассуждать о разных экономических стратегиях и мотивации к труду, но не в 8 классе, так как нужно научиться анализировать статистику, знать историю и использовать сложные методы моделирования.
А сейчас мы предлагаем вам самим пройти очень интересную игру про эволюцию доверия, в которой показаны разные игроки и стратегии, а также рассказывается реальная история одного удивительного события времен Первой мировой войны.
Резюме
Математика окружает нас повсюду. И задача проекта «Математической вертикали» - подарить ученикам такие инструменты взаимодействия с реальностью, с которыми однажды станет возможным этой реальностью управлять.
В цикле этих занятий ученики смогли понять, почему фраза «казино всегда выиграет» не фразеологизм, а математический факт, а также увидели границы применения математики. Математика существует до тех пор, пока в нее не вмешиваются эмоции и импульсивные решения, обиды и месть.
Впереди будут новые рубежи, новые знания и новые форматы. А пока мы прерываемся на каникулы, которые, к счастью, являются достоверным событием, наступающим всегда вовремя. И никаких вероятностей!
#ШКОЛА950 #ДОНМ #Предпрофкласс