Простые числа первого и второго рода по классификации Ферма. Кочкарев Б. С.

В 17 веке великий французский математик-любитель Ферма заметил, что все простые числа кроме числа 2 представимы в виде 4к + 1 и 4к - 1, где к - целое число. Это замечание он написал, как обычно, на полях своей книги "Арифметика" Диофанта без доказательства. Простые числа, представимые в виде 4к + 1 он назвал простыми числами первого рода, а простые числа, представимые в виде 4к - 1, он назвал простыми числами второго рода и высказал без доказательства утверждение, что простые числа первого рода являются суммой двух квадратов, тогда как простые числа второго рода никогда таковыми не будут. То, что 2 не представляется в виде 4к + 1 и 4к - 1, очевидно, так как все числа вида 4к +1 и 4к - 1 являются нечетными. Поскольку любое натуральное число представимо либо в виде 4к, либо в виде 4к + 1, либо в виде 4к + 2 и либо в виде 4к + 3(4к - 1), и, поскольку все простые числа кроме числа 2 являются нечетными, то все простые нечетные числа представимы в виде 4к + 1 и 4к - 1. В нашей работе "Проблема близнецов и другие бинарные проблемы" мы доказали, используя нашу аксиому спуска, что все простые числа первого рода являются суммами двух квадратов, а простые числа второго рода никогда таковыми не будут.