Это было написано для нашей группы в ВК, хотим разместить и здесь!
Прошло, наверно, месяцев 7 с тех пор, как начался эксперимент, заключающийся в том, одна школа разделилась на две: в одной из них все продолжилось почти так же (я пишу «почти», потому что не знаю всех нюансов — для чистоты эксперимента две эти новые школы никак не взаимодействовали между собой), во второй https://vk.com/co_math был полностью отменен «классический» подход: там решено было изучать только материал, необходимый для проникновения в «чистую» математику (олимпиадная математика изучалась и изучается тоже, но только в обозначенном контексте). Пока рано говорить о плодах, но уже можно говорить о всходах: 2-3-классники, например, умеют строить различные графики (параболы, гиперболы и тд), решают квадратные уравнения (не пользуясь заучиваемой в обычной школе формулой дискриминанта), знают, пусть самые азы, но с полным их пониманием, теории групп. Отдельно отмечу, что это усваивалось по ходу, то есть лежало на пути в абстрактную математику, а не с целью, так сказать, выделиться.
8-9-классники уже изучают книгу Линдона и Шуппа, написанную даже не для студентов, а для профессиональных математиков. Например, определение свободной группы там дается на категорном языке: F - группа, X - некоторое ее подмножество. F называется свободной с порождающим множеством X, если любое отображение X→G, где G — произвольная группа, однозначно восстанавливается до гомоморфизма F→G.
Ребята доказывали равносильность этого определения и того, которое обычно дается новичкам (например, студентам): Группа F с порождающим множеством X называется свободной, если любое редуцированное слово, составленное из букв алфавита X⋃X^{-1}, имеет единственное такое представление.
Поскольку они (эти 8-9-классники) уже привыкли к языку (а это одно из серьезных препятствий на этом пути), по нашим планам скоро они будут, кроме книги Линдона и Шуппа, изучать ∞-категории (или квази-категории).
И есть два человека, уже изучающих ∞-категории, гомотопическую алгебру и теорию высших категорий. Например, одно из недавних существенных утверждений, нами разобранных, такое: нерв любой малой категории есть квази-категория. И как, в некотором смысле, обобщение этого утверждения: гомотопическая категория нерва малой категории изоморфна самой этой категории.
Таким образом, мы добрались до намеченного пункта — занимаемся теперь одной из сложных областей математики.
Этот текст написан именно для этого паблика с целью обозначить, что теперь в ЭТОЙ школе есть и такие горизонты. Не подразумевается, что все ученики будут «подсажены» на такую математику, но желающие смогут отправиться по этому, действительно нелегкому, пути.
Кроме этого, возникают и другие новые направления, уже более прикладные, но тоже требующие способности мыслить на высоком уровне абстракции. Одно из них будет связано с гомотопической теорией типов, предельно актуальной для защиты информации (в том числе, как пример, для математической верификации смарт-контрактов).
Вот, в двух словах, что имеем на данный момент.
Нравится