Сегодня рассмотрим задание №4595 из банка тестовых заданий для ЕГЭ ФИПИ. Это задание «высокого» уровня сложности на комбинаторику и основы теории чисел.
Напоминаю, для подписчиков планируется возможность получения решений в «вордовском» .DOCX формате со стандартными формулами и рисунками. Кому требуется, делайте запросы в комментариях – я предоставлю файл.
Общий список заданий, разобранных на канале, приведён здесь.
Задание
На доске было написано 30 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Среднее арифметическое написанных чисел равнялось 7. Вместо каждого из чисел на доске написали число, в два раза меньшее первоначального. Числа, которые после этого оказались меньше 1, с доски стёрли.
Вопросы:
- A. Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, больше 14?
- B. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться больше 12, но меньше 13?
- C. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.
Рассуждаем
Для решения задачи необходимо заметить, что при стирании чисел будут стёрты только числа, изначально бывшие единицами. Учитывая это обстоятельство теперь необходимо вывести формулу, по которой можно получить среднее до и после уменьшения чисел и стирания единиц.
Подставив в эту формулу требуемые значения среднего арифметического, мы сможем оценить количество чисел, и ответить на вопрос, возможно ли такое количество (оно может быть только натуральным).
Для ответа на последний вопрос потребуется исследовать функцию, представленную в полученной формуле. Полученное наибольшее натуральное значение и будет являться ответом на третий вопрос.
План решения
- Получим формулу среднего арифметического чисел на доске после их стирания.
- Проверим с помощью полученной формулы, возможно ли среднее арифметическое больше 14.
- Проверим с помощью полученной формулы, возможны ли натуральные значения количества чисел, написанных на доске. Если возможны – то второй ответ будет положителен.
- Исследуем функцию полученной формулы, определяя максимальное значение в пределах исходных данных.
Решение
Заметим, что с доски были стёрты числа, на месте которых были единицы. В самом деле, после замены чисел вдвое меньшими, только единица даёт значение меньше единицы. Таким образом, единицы следует рассмотреть отдельно.
Пусть на доске изначально было n чисел, среди них m единиц (остальные числа обозначим через d < 41). Из условия следует что первоначальная сумма чисел равнялась:
Откуда сумма неединичных членов:
Все эти члены разделили на 2, следовательно их сумма стала равняться:
А среднее арифметическое:
А.
Проверим, может ли это значение быть больше 14:
Откуда получаем:
И далее:
То есть, чтобы после стирания чисел среднее арифметическое было более 14, необходимо, чтобы изначально на доске было не менее 24 единиц и 6 неединичных членов.
Сумма неединичных членов:
То есть:
Таким образом, для ответа на первый вопрос необходимо написать на доске 24 единицы и шесть значений 31. Сумма будет равна 210, среднее арифметическое 7.
После уменьшения вдвое на доске останется только шесть значений 15.5, их среднее арифметическое больше 14. То есть, ответ А: среднее арифметическое после стирания может быть больше 14.
В.
Проверим, может ли среднее значение быть больше 12, но меньше 13:
Откуда получаем:
И далее:
Это и есть границы для m, чтобы среднее арифметическое уложилось в необходимый диапазон. Поскольку m может быть только целым неотрицательным, то ответ В: среднее арифметическое после стирания не может быть больше 12, но меньше 13.
С.
Чтобы среднее арифметическое было максимальным, необходимо выполнение следующего условия:
При этом необходимо учесть условие, что неединичные члены укладываются в исходные условия.
Данная функция всюду возрастает, но при m = 30 она не существует, а при 30 < m < 210 отрицательна, далее при m= 210 она равна нулю, и дальше – асимптотически приближается к значению 0.5
Таким образом, максимальное среднее получается в том случае, когда единичных членов будет как можно больше (в пределах возможных условий). Если неединичных членов 4, то сумма даже их максимальных значений составит 160, а число единиц 26, и общая сумма составит 186, что меньше необходимых 210 для всех 30 членов. Таким образом, максимальному среднему соответствует 5 неединичных членов и 25 единиц:
Такому среднему соответствуют, например, такие неединичные члены (кроме 25 единичных):
После уменьшения всех членов вдвое единицы исчезнут, а все эти члены уменьшатся до пяти значений 18.5 среднее будет таким же.
То есть, ответ С: максимальное среднее равно 18.5