Тео́рия вероя́тностей — раздел математики, изучающий, как мы уже поняли, случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.
Возникновение теории вероятностей относят к средним векам, когда среди всей этой схоластики одним из немногих развлечений стали азартные игры - орлянка, кости, рулетка, карты. Самые ранние работы учёных в области теории вероятностей относятся к XVII веку. Исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх, Кардано, Паскаль и Ферма открыли первые вероятностные закономерности, возникающие при бросании костей. В 1657 г. Гюйгенс издал труд, где ввёл основные понятия ТВ - вероятности, математического ожидания, описал теоремы сложения и умножения вероятности - в неявном виде. Дальше Бернули дал доказательство закона больших чисел. В 18в. Байес сформулировал свою теорему. В 19 в. Гаусс исследовал распределение случайной величины. В 20 в. Колмогоров привёл ТВ в современный вид.
Элементарное события (эл.исход) - любой простейший, неделимый в рамках данного опыта исход события.
Множество всех ЭС - пространство элементарных исходов.
Случайная величина — переменная, значения которой представляют собой численные исходы некоторого случайного феномена или эксперимента. Другими словами, это численное выражение результата случайного события.
Вероятность любого события заключена между 0 и 1. Если вероятность события нулевая, то такое событие называется невозможным, если же вероятность события равна единице, то такое событие называется достоверным. Вероятностное пространство состоит из множества элементарных исходов и набора неотрицательных чисел, таких, что сумма их равна 1.
Как видим, есть разные немножко определения и акценты, но суть одна.
На основе определения вероятностного пространства легко провести разделение между теорией вероятностей и статистикой: теория вероятностей предсказывает частоты на основе знания вероятностного пространства, а статистика решает обратную задачу — на основе наблюдаемых частот определяет параметры неизвестного вероятностного пространства.
Пример: подбрасывание монетки
Монетка правильная и симметричная, никогда не встает на ребро. Тогда вероятности:
Пример: два подбрасывания монетки
Все элементарные исходы равновероятны и равны одной четверти.
Будем называть два события несовместными (непересекающимися), если их пересечение равно пустому множеству. Т.е., нет исходов, которые соответствовали бы обоим событиям. Пример: события «на игральном кубике выпало чётное число» и «на игральном кубике выпала единица или тройка» несовместны.
В противном случае, события совместные (пересекающиеся).
Вероятность - определение и формулы
Как определить вероятность суммы двух событий, которые не являются несовместными?
Пример: В школе 15% знают французский язык, 20% знают немецкий и 5% владеет обоими языками. Какова доля учеников, знающих хотя бы один из этих двух языков?
Таких 30%, потому что 15+20-5=30%.
Такие выводы из всего вышесказанного логичны
и просты:
Геометрическое определение вероятности
Бывает удобно сосчитать в виде сумм площадей.
Решение геометрически выглядит так:
Условная вероятность
Снова рассмотрим задачу про учеников и иностранные языки. Какая доля среди школьников знающих немецкий знает и французский? Ответ легко вычислить, посмотрев на картинку. Нужно вычислить отношение количества школьников знающих оба языка к количеству школьников знающих немецкий, и это 25%. Переходя к языку теории вероятностей можно задаться следующим вопросом: какова вероятность, что случайно выбранный школьник знает французский при условии, что он знает немецкий? Пусть события и соответствуют тому, что случайно выбранный школьник знает французский и немецкий соответственно. Тогда искомая вероятность называется условной вероятностью наступления при условии и обозначается. По аналогии получаем следующую формулу для условной вероятности:
Теорема умножения вероятностей
Отсюда формула полной вероятности выглядит так
Всякие примерчики есть здесь.