Эффективные сети

Сеть - это совокупность узлов и связей, которыми эти узлы связаны. Вот, например, рыболовная сеть:

Эта сеть имеет 4 связи на узел, то есть каждый узел связан с 4 смежными узлами.

Или сеть триангуляции, которая используется в геодезии и картографии:

При построении топографических карт удобно разбивать поверхность Земли на треугольники. При такой структуре каждый узел сети имеет по 6 связей.

А вот так выглядит сотовая сеть:

В сотовой сети каждый узел имеет только по 3 связи.

Как видим, минимальным числом связей на узел обладает сотовая сеть. Само название такой сети происходит от пчелиных сот. Возникает резонный вопрос: "Почему пчелы выбирают такую структуру при построении своих медовых хранилищ?" Дело в том, что такая структура обеспечивает пчелам наименьший расход материала на строительство перегородок между ячейками хранилища. Это наиболее эффективная структура. И это напрямую связано с количеством связей на узел. То есть чем меньше связей на узел, тем больше эффективность.

Чтобы количественно определить эффективность сети нужно каким-то образом выбрать коэффициент эффективности. Для этого сначала договоримся строить все сети из одинаковых "кирпичей", чтобы потом их можно было объективно сравнивать. То есть длина связи должна быть одинаковой для всех сетей (в общем случае нерегулярных сетей имеется в виду максимальная длина связи). Назовем эту длину радиусом сети и обозначим ее r.

Теперь построим достаточно большой участок сети и посмотрим, какова получилась суммарная длина связей (нитей) L и какую площадь S при этом накрывает сеть. Чем больше отношение накрываемой площади к длине использованных нитей, тем больше получилась эффективность сети. То есть в качестве коэффициента эффективности сети логично взять K=S/rL. Множитель r в знаменателе можно опустить, если взять радиус сети за единицу измерения длины. В дальнейшем мы так и будем считать, что r = 1.

Для триангуляционной сети с ячейками в виде равносторонних треугольников этот коэффициент равен 0,289 (единица, деленная на два корня из трех), для рыболовной сети с квадратными ячейками - 0,5 (одна вторая), для сотовой сети с шестиугольными ячейками - 0,866 (корень из трех, деленный на два). Вычисления я здесь опускаю, вернемся к ним чуть позже. То есть пчелы не зря строят шестиугольные, а, например, не квадратные соты. Ведь тогда бы они затрачивали в 1,73 раза больше материала для заполнения своими сотами медовой рамки.

До сих пор мы говорили только о плоских сетях, то есть тех, которые покрывают поверхность. А что с объемными сетями, теми, что заполняют пространство?

В следующей статье - продолжение об эффективных пространственных сетях и о методике расчета коэффициентов эффективности сетей.

А пока вот такое видео для примера:

Кусочек пространственной сети с четырьмя связями на узел. Объемная эффективность такой сети выше, чем у кубической (декартовой сети).