В учебной литературе для средних и высших учебных заведений обычно в качестве доказательства введённого Эйнштейном коэффициента преобразования координат
приводят разного рода мысленные (с графиками) рассуждения.
Рассмотрим одно из них.
Пусть нам даны две инерциальные системы отсчёта S и S`, причём S` движется относительно S в положительном направлении оси OX, т.е. удаляется.
Пусть из некоторой точки A` системы S` отправляется сигнал в противоположных направлениях к равноудалённым точкам B` и C`.
Как мы уже знаем, в одной и той же точке пространства-времени не могут находиться две системы и что каждому набору значений (x, y, z, t) в покоящейся системе соответствует набор значений (x`, y`, z`, t`) движущейся системы.
Поэтому будем иметь:
(A` - A) = {(kуд)A - A)} или (A`) = (kуд)A # A; (1)
(B` - A) = {(kуд)B - A)} или (B`) = (kуд)B # B; (1а)
(C` - A) = {(kуд)C - A)} или (C`) = (kуд)C # C; (1b)
(t`- t) = {(kуд)t - t)} или (t`) = (kуд)t # t. (1c)
По определению в движущейся системе S` мы имеем:
|B` - A`| = |C` - A`|. (2)
Но
|B` - A`| = C(t`B`) и |C` - A`| = C(t`C`). (3)
Тогда следует, что (t`B` = t`C`). Это означает, что события B` и C` по отношению к точке A` произошли одновременно, т.е. в одной временной точке системы S`, но в разных пространственных точках.
Далее. Так как, согласно равенствам (1,1a,1b,1c):
{(A`) = (kуд)A}, {(B`) = (kуд)B}, {(C`) = (kуд)C} и {(t`) = (kуд)t}, (4)
то, подставив эти выражения в равенства (3), получим:
|(kудB - (kудA| = C(kудtB) и |(kудC - (kудA| = C(kудtC) (5)
или
|B - A| = C(tB) и |C - A| = C(tC) (5а)
Тогда следует, что (tB = tC). Это означает, что события B и C по отношению к точке А произошли одновременно, т.е. в одной временной точке системы S, но в разных пространственных точках.
Никаких подтверждений для эйнштейновского коэффициента здесь нет.
Необходимо понять, что
xA # (x`A`), xB # (x`B`), xC # (x`C`), t # (t`)
и вообще
R # R`,
т.е.
[R = √{(x2 + y2 + z2)}] # [R` = √{(x`)2 + (y`)2 + (z`)2}] (6)
и
[t = √{(tx)2+(ty)2+(tz)2)] # [t`= √{(t`x)2+(t`y)2 + (t`z)2}] (6а)
Чтобы составить систему уравнений, связывающих события в системах, надо прежде всего усвоить, что сигнал взаимосвязи, при помощи которого мы находим значения координат связываемых событий, должен иметь замкнутый цикл движения в обеих системах (откуда вышел – туда и пришел). Иначе теряется взаимосвязь событий.
Поэтому, задаваясь вопросом об одновременности событий, необходимо определиться по отношению к какой именно точке имеется в виду одновременность.
(продолжение следует)
Интерактивный каталог для ориентировании в серии публикаций доступен по ссылке.