Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня поговорим о таком понятии, как определитель. Как правило, все студенты, да и продвинутые школьники умеют вычислять определитель матриц второго и третьего порядков. Однако, задумывались ли Вы, что на самом деле значит это число? Давайте поймем это для самого простого случая. Поехали!
Итак, представим на плоскости параллелограмм, образованный парой векторов:
Уже понимаете, к чему всё идет? Давайте найдем площадь параллелограмма ОАСВ. К счастью, мы знаем, что она равна удвоенной площади треугольника ОАС, которую мы легко найдем через синус угла между векторами ОС и ОА:
Теперь нужно вспомнить, что же это за значки такие. В памяти всплывает, что между вертикальными черточками - длина (норма) вектора (корень квадратный из суммы квадратов координат вектора), а в числителе дроби под корнем - скалярное произведение векторов (сумма произведений соответствующих координат векторов). Записываем это немедленно:
Остается только преобразовать выражение для площади параллелограмма и получить итоговую формулу:
Как видите, полученная нами формула для площади параллелограмма полностью совпадает с правилом вычисления определителя для квадратной матрицы 2х2! Оказывается (не знаю как Вам, но мне честно не говорили это в ВУЗе), что определитель - это число, равное ориентированной (может быть и меньше нуля) площади параллелограмма, заданного двумя векторами (столбцами матрицы)!
Теперь становится понятным и тот случай, когда определитель равен нулю! Тогда параллелограмма просто нет, а векторы коллинеарны (т.е. лежат на параллельных прямых или на одной прямой)!
- Если Вам понравился данный материал, поддержите его лайком, а канал - подпиской.