Редко кому в школе нравится математика, и я не был исключением из правил. Нельзя сказать, что ненавидел я её так же, как и русский, просто уроки математики были одними из самых нудных. Кто знал, что спустя годы мне придётся соприкоснуться и с её красотой, и с некоторыми неприглядными моментами, о чём и планирую поведать в данной статье.
Вообще сложно придумать предметы более унылые, чем математика и русский язык. Какие-то сплошные абстракции, правила, никаких взрывов и искр, как на химии, биологии или физкультуре. Даже на географии можно было помечтать о заморских странах.
Русский язык казался отвратительнее, чем математика, потому что я не видел в нём вообще никакой практической пользы. Я не собирался становиться писателем. Ко всему прочему, он всегда шёл в прицепе с литературой: на одном уроке мы читали какую-то нудятину, на другом — изучали, как её правильно писать. Математика, в отличие от этих двух, имела хоть какое-то применение: она позволяла с лёгкостью объяснять весь тот «экшен», что творился на уроках физики и химии.
Со школьной скамьи мы впитываем понимание того, что все природные явления можно объяснить при помощи математики: сначала мы перемножаем скорость и время, чтобы найти пройденное расстояние, потом с каждым годом задачи усложняются. Добавляется ускорение, гравитация, движение становится всё более сложным, однако не ощущается, что где-то существует предел — во всяком случае, школьная программа ничего об этом не говорит и, наверное, это правильно.
Идея того, что поведение окружающего мира подчиняется законам, которые можно выразить на языке математики, — не очевидна, революционна и довольно нова. Ей «всего лишь» четыре века, то есть, большую часть времени человечество существовало без неё, покуда в XVII веке великий Галилео Галилей не сделал научный метод основой естествознания.
Философия написана в величайшей книге, которая всегда открыта перед нашими глазами (я разумею Вселенную), но её нельзя понять, не научившись сначала понимать её язык, и не изучив буквы, которыми она написана. А написана она на математическом языке, и её буквы — это треугольники, дуги и другие геометрические фигуры, без каковых невозможно понять по-человечески её слова, а без них — тщетное кружение в тёмном лабиринте.
Именно с этого времени, то есть с XVII века, и начинается стремительное развитие науки и, как следствие, цивилизации. Окинув взглядом окружающее пространство нельзя не заметить плодов естествознания: полимерные материалы, электричество, полупроводниковые технологии. В конце концов, экран, с которого мы читаем этот текст, каких-то лет сто назад казался абсолютной фантастикой.
Одновременно с обустройством окружающего нас (зримого) пространства наука за последние сто лет проникла в такие уголки Вселенной, что от осмысления этих масштабов может закружиться голова.
Оказалось, что когда мы переходим к исследованию чего-то очень большого или чего-то очень малого, нам приходится использовать всё более сложные теории и математические уравнения, потому что у наблюдаемых явлений нет прямых аналогий в повседневной жизни. Наконец наступает момент, когда поведение мира начинает идти вразрез с обычной, «земной» логикой.
Что касается больших масштабов, то каждый хотя бы краем уха слышал о теории относительности и её парадоксах. В микромире «абсурдности» ещё больше, а парадоксы квантовой механики благодаря ютубу нынче известны никак не меньше.
Великие учёные, работающие на передовой науки, обычно с восхищением относятся к математике. «Бесспорный путь к истине, краеугольный камень, на которой покоится вся система естественных наук», — говорит о ней Шинтун Яу, знаменитый учёный современности и один из авторов теории струн.
Мне же больше по душе изречение Поля Дирака, окрашенного оттенками скромности, обычно свойственной великим учёным.
Оказывается, одна из основных особенностей природы заключается в том, что законы фундаментальной физики описываются очень изящными и мощными математическими теориями. Для понимания этих теорий нужно быть математиком высокого уровня. Вы можете удивляться: почему Природа устроена таким образом? Единственное, что можно ответить на современном уровне знаний — Природа таким образом сконструирована. Остается только принять это. Другими словами, Бог — математик очень высокого уровня и Он использовал самую совершенную математику при создании Вселенной. Наши слабенькие математические усилия позволяют нам понять устройство лишь маленького кусочка Вселенной, и по мере дальнейшего развития математики мы надеемся понять устройство Вселенной лучше.
В глубинах микромира
Ознакомимся с образчиком красоты, которую имел в виду Дирак. Ниже я нарисовал знаменитое уравнение Шрёдингера, которое применяется для описания всяких там крохотулечных штучек типа атомов и электронов. Сто лет назад было установлено, что они ведут себя и как частицы, и как волны одновременно. Но в виде волны описать их поведение оказалось проще:
Это уравнение было изобретено известным «любителем» кошек — Шрёдингером, за что ему и присвоили Нобелевскую премию. В данном уравнении Ψ — это так называемая волновая функция — выражение для описания свойств волновой системы, коими являются частицы микромира. Для нахождения волновой функции это дифференциальное уравнение требуется решить, что оказывается весьма и весьма непросто. Но лично мне в этом уравнении кажется примечательным не то, что оно практически не поддаётся решению в аналитическом виде, а буковка i, которую я специально выделил красным цветом.
i — это мнимая единица — квадратный корень из минус единицы, то есть число, которому нет аналогий в нашем повседневном мире. По сути, i — это длина стороны квадрата с площадью минус один. Получилось такое представить? Выходит, что человечество не нашло другого пути описать поведение атомов и электронов кроме как через «несуществующее» в обычной жизни число.
Помните из школьных уроков химии электронные орбитали? Это такие «шарики» и «гантельки», которые визуально описывают места наиболее вероятного нахождения электрона в атоме? Это не что иное, как решения уравнения Шрёдингера для атома водорода — одного из немногих случаев, когда его удаётся решить. Для того, чтобы избавиться от i, волновая функция возводится в квадрат, который называется «плотностью вероятности». Таким образом, даже решение уравнения нам даёт не точное местоположение электрона, а лишь его вероятность нахождения в том или ином месте — такова особенность микромира.
Восхищение и разочарование
По долгу своей специальности мне приходилось сталкиваться с тем, чтобы выразить тот или иной процесс на языке математики. Это было нужно для того, чтобы представлять химические процессы в виде упрощённых моделей и предсказывать поведение тех или иных систем. Иногда для описания каких-то простеньких вещей требовалось применять совершенно инфернальные (для меня, не математика) вещи, например гамма-функцию, о которой я обязательно как-нибудь ещё напишу.
Всё это лично у меня, человека, лишь изредка соприкасающегося с математикой, вызывало противоречивые эмоции.
С одной стороны — восхищение силой человеческого разума, который проник в такие потаённые сферы мироздания, что каких-нибудь сто лет назад это показалось совершенной фантастикой. Для этого ему потребовалось создать настолько сложный математический аппарат, что его красота доступна математикам высокого уровня.
С другой — разочарование, причину которого я попытаюсь объяснить. На мой взгляд, математика — это не краеугольный камень мироздания, а кривое зеркало человеческого разума, в котором это мироздание отражается.
Кривое потому, что фундамент этой науки берёт начало от наших десяти пальцев, которые стали основой десятичной системы, от каких-то простеньких землемерных задач, от элементарных арифметических действий: сложить, отнять, умножить, которые изредка требовались в хозяйстве. Поэтому для описания каких даже широко встречающихся явлений нам приходится городить огород и изобретать "монстров", как на заставке моего канала — человек просто не мыслит теми категориями, из которых "собрана" наша Вселенная. Мы даже не можем взять и легко представить четырёхмерный континуум, в котором пребываем с самого рождения.
Эксперимент с верёвочкой и кастрюлями
Давным-давно, когда я учился в начальной школе, отец провёл эксперимент. Он дал мне какую-то верёвочку и попросил измерить длину окружности и поперечник всех кастрюль и стаканов доме с точностью до миллиметра. Потом мы взяли и разделили получившиеся длины окружностей на диаметры. В каждом случае получилось какое-то число близкое к трём, но в точности ему не равняющееся.
Не помню точно, что меня удивило больше: то, что для всех кастрюль и стаканов получилось одно то же число вне зависимости от их размера, или то, что оно было каким-то странным. «Это число пи, — сказал отец, — и его нельзя точно записать при помощи цифр».
Потом, уже в последних классах школы выяснилось, что π является трансцендентным числом: его нельзя представить ни в виде дроби a/b, ни при помощи знака извлечения корня. Поэтому его так и представляют — в виде буквы π.
Доказано, что абсолютно точное значение этого числа нельзя вычислить, а можно это сделать лишь с разной степенью приближения, а каждая следующая цифра после запятой (коих уже известно несколько триллионов) совершенно не зависит от предыдущей.
К слову, вычисление числа пи с такой сумасшедшей точностью не несёт абсолютно никакого практического смысла, ибо даже для вычисления «диаметра Вселенной» с точностью до размера атома водорода достаточно всего лишь сорока знаков. Вот они:
π = 3,1415926535897932384626433832795028841972
Получается, что совсем рядом с нами, в быту, есть число, которое нельзя просто взять и выразить при помощи «десяти пальцев». И, несмотря на то, что π не является физической константой, оно неизбывно присутствует в с нами: и в длине окружности пирога, и в уравнениях, описывающих фундаментальные принципы Вселенной, например, в том же уравнении Шрёдингера, ибо
Что же в итоге?
Я не ставил своей целью познакомить читателя с историей математики или рассказать о каких-либо парадоксах физики. В конце концов, я не являюсь профессионалом ни в одном, ни в другом, а компилировать информацию из интернета нет желания. Этой статьёй я открыл серию своих наблюдений об ограниченности человеческого разума, которая будет регулярно пополняться.
Также на моём канале вы найдёте практические советы по оптимизации процессов и принятии решений на основе фактов.
Спасибо, что дочитали до конца, буду рад услышать ваше мнение о том, насколько красива математика: является ли она краеугольным камнем мироздания, отпечатком человеческого разума в явлениях природы или чем-то иным?
#ограниченность разума