Алексей Климушкин родился в коммуналке, в центре Ленинграда. Дом его семьи располагался напротив театра им. Ленсовета. Мама одноклассницы работала в билетной кассе театра, доставал контрамарки и благодаря этому, Алексей пересмотрел все спектакли театра. В то время там блистали такие звезды как Михаил Боярский, Алиса Фрейндлих. В те времена он и заразился театром. После школы подал документы в театральный, но первая попытка поступления провалилась. Тогда он поступил в институт инженеров железнодорожного транспорта, но его хватило лишь на год - душа абсолютно не лежала к профессии инженера. Его призвали в армию, и после демобилизации он продолжил штурм театрального института.
Лишь с 4 попытки ему удалось поступить в ЛГИТМиК. Его однокурсниками были Дмитрий Нагиев и Игорь Лифанов. Втроем они очень сдружились, долго дружили и после окончания ВУЗа. Но к сожалению, в какой-то момент между друзьями сложилось некоторое недопонимание, и они отдалились.
После окончания ВУЗа в 1992 году ему удалось сняться в одной картине, но затем, как и для многих артистов в 90-е, последовал длительный простой в кинокарьере. Но зато в то время одна за одной стали открываться различные радиостанции. На одну из самых популярных, "Радио-модерн", он и устроился ди-джеем. В эфир выходил под псевдонимом Аркадий Арнаутский. Вместе с ним там трудились Дмитрий Нагиев, Алла Довлатова.
С начала 2000-х его изредко стали приглашать на съемки в сериалы на небольшие роли. В те же года настало время скандальных ток-шоу. Алексей стал режиссером-постановщиком программ "Окна", "Дом", "Бремя денег". Его друг Дмитрий Нагиев стал ведущим "Окон". Зная "кухню" создания таких шоу, сегодня он очень отрицательно относится к подобным передачам, и ни за какие деньги не соглашается туда ходить, когда его приглашают в качестве эксперта.
В 2008 году для Алексея наступила его минута славы. На экраны вышел один из самых популярных проектов - "Универ", где он сыграл самого яркого персонажа за всю свою карьеру - олигарха Сильвестра Сергеева. Кстати, именно с началом съемок в ситкоме, кончилась дружба с Нагиевым и Лифановым.
В то время друзья вместе играли в антрепризном спектакле "Кыся". Но из-за съемок в сериале Алексей не всегда мог участвовать в постановке. "Ребята привыкли, что я всегда немного позади. А тут я трижды за два месяца заранее предупреждаю, чтобы мне замену в "Кысе" нашли. И кто-то вдруг повернул ситуацию так, что Климушкин, наглый мальчик, кинул всех. Меня из спектакля убрали", - вспоминает артист.
С 2013 года и по настоящее время Алексей все в том же образе появляется в сериале "СашаТаня". Помимо съемок в ситкоме, периодически он выходит на театральную сцену в антрепризных спектаклях. С появлением в его жизни "Универа" и "СашиТани" ему пришлось покинуть любимый Санкт-Петербург и обосноваться в Москве.
Свободное от съемок и спектаклях время он проводит очень активно. "Бассейн, пробежки в парке, выставка Мунка, поход в оперу – это то, что делает мне большой кайф в голове и ставит все на свои места. Сразу понятно, кто я на этой земле, чего я стою, чего мы все стоим, чего стоит Сильвестр Андреевич", - делится артист. Кроме этого, он любит путешествовать. Особенно любит Францию и Италию. В последней, кстати, у него не так давно обнаружилась двоюродная сестра Алла, о существовании которой он ранее не подозревал. А еще Алексей очень мечтает посетить Японию, и надеется, что его желание когда-нибудь сбудется.
За долгие годы съемок он близко сдружился со всеми актерами сериала. К примеру, когда Андрей Гайдулян, играющий Сашу, заболел онкологией, он приезжал поддержать близкого человека в Германию, где тот проходил лечение. Но помимо экранного сына Саши, у Алексея имеется и собственная семья. О личной жизни актер говорить не любит, но известно, что у него двое любимых сыновей, одному из которых за двадцать, а второму уже за тридцать. "Я - еврейский папочка чистой воды. Бегаю как "клушка". Всегда хочется подстелить соломки, чего не хватало мне самому. Хотя понимаешь, что не убережешь же! Стараюсь быть другом...", - как-то делился он в одном из интервью.