Приветствую Вас!
Одними из не очень "удобных" задач по геометрии для школьников, считаются, как показывает практика, с биссектрисами. Ну, конечно. Кроме того, что они делят угол пополам, более ничего и нет. Не будем говорить о каких-то замысловатых формулах итд.
Многие, видя что в задаче идет речь только о биссектрисах, даже не пытаются их решать. Предлагаю разобрать одни из самых ходовых задач о биссектрах, которые "гуляют" по ОГЭ и ЕГЭ.
Например:
Углом между биссектрисами, в данном случае, будет являться угол АЕВ. Дело в том, что сумма любых двух углов параллелограмма, прилежащих к одной из его сторон, равна 180 градусов. А т.к. биссектрисы разделили эти углы пополам, следовательно, сумма половин этих углов (в данном случае АВЕ и ВАЕ), будет половиной от 180, т.е 90. Ну, а т.к. сумма углов треугольника 180, искомый угол 90 градусов.
Теперь такая:
Здесь примерно такая же история как и в предыдущей задаче. Только сумму углов, из которых выпущены биссектрисы, требуется вычислить. Известен угол С, следовательно, сумма углов А и В будет равна 180-58, т.е 122 градуса. Ну, а дальше по тому же сценарию: полусумма этих углов (т.к из них выпущены биссектрисы), будет равна 61, и, соответственно, искомый угол АОВ =180-61=119.
Следующий вариант:
Для начала вычислим угол С. Он у нас равен 38 градусов, исходя из суммы углов треугольника. Соответственно, его половина - 19. Искомый угол находится в треугольнике АОF. Угол F в нем так же находится в треугольнике AFC, и будет равен 180 - А -1/2С=101. Следовательно, наш угол AOF= 180 - 101 - 1/2А=49.
Далее:
Из данных в задаче понимаем, что треугольники ACD и ADE равны (по двум сторонам и углу между ними). Следовательно, угол AED, как и угол С, равен 85. Значит, смежный с ним угол BED=95. Ну, и, соответственно, искомый угол EDB=180-95-45=40.
И, в заключение:
Здесь сразу бросаются в глаза два равнобедренных треугольника, следовательно, углы у них при основании равны. Введем икс. Так, мне кажется, будет проще.
Пусть угол CAD=x, тогда угол ACD тоже икс и угол DAB - икс. Угол ADB=180-2x (исходя из суммы углов треугольника), а угол ADB=2x, т.к смежный с ADB. Следовательно, угол В также 2х (как равные при основании р/б треугольника).
Получаем такую картинку:
Используя, опять же то, что сумма углов треугольника 180 градусов, составим уравнение: 5х=180, где х=36. Кстати, тут сразу видно, что 36 будет ответом, т.к требуется найти меньший угол, а это угол С. Ведь он - икс, а А и В по два икса.
Благодарю за внимание..