В физике и математике, особенно связанной с изучением различных пространств, в частности – евклидовых, часто применяются операции, связанные с изменением системы отсчета. В физике, особенно теоретической, система отсчета обычно связана с материальным телом – материальной точкой и некоторым выбранным от него направлением. Реально, например, на поверхности Земли, она связывается с конкретным местом на ее поверхности – городом, селом, горой. Наконец – серверным и южным полюсом и городом Лондон для нулевого отсчета меридиана, направленного на север как одного из направлений. В Солнечной системе – с Солнцем. И бывают ситуации, конечно, мало имеющие отношение к координатам на поверхности Земли (да и на Земле тоже), когда точка начала отсчета – город Лондон – меняется. Как говорят математики и физики – меняется система координат. Причины разные – где-то для удобства, где-то просто так решили. В математике для этого есть специальные методы, позволяющие из одной системы координат получать другие. И в общем случае они состоят из двух видов преобразований. Оба как-будто бы с одной стороны очень простые, с другой – и не очень. Все же математика, тригонометрия … Первый вид преобразований действительно очень тривиальны – это простые смещения начала координат. В этом случае просто вместо начала отсчета – например, города Лондон – берется другой город. Математически это следующие преобразования:
Здесь x₍₀₎ и y₍₀₎ - координаты начала новой системы координат. Обычно их пишут со штрихом и называют штрихованными. Но я не о них. Я о преобразованиях координат, связанных с их поворотами – как на следующем рисунке.
А они имеют вид:
Необходимо осознавать, что это есть новые координаты точки с координатами (x, y) в новой системе координат (x', y'). A само уравнение представляет собой уравнение преобразования, которое используется для выполнения вращения в евклидовом пространстве. Если вспомнить школьную тригонометрию, то это уравнение есть уравнение тригонометрического вычитания углов. В данном случае (см. Рисунок 1) для точки M из исходного угла (a + j) его видимости в исходной с.к. вычитается угол a - угол поворота новой с.к.: (a + φ) – a = φ. В этом случае координата x будет косинусом, а y – синусом угла (a + j), умноженным на длину OM. Для примера приведу расчет новых координат точки с координатами (x, y = (1,0) при повороте с.к. на a = +30°. Ее новые штрихованные координаты c использованием формулы (3.20) будут иметь координаты (см. Рисунок 3.1):
Выбор положительного направления угла поворота на плоскости
В связи с тем, что направление поворота в "положительном" направлении можно выбрать по разному – против и по часовой стрелке, то в математике и физике за положительное направление выбрано направление против часовой стрелки, для нашего рисунка – в направлении ближайшего поворота к оси y. Но эти два способа – независимы друг от друга, поэтому при каждом преобразовании отражения какой-нибудь координатной оси необходимо иметь в виду, что направление "положительного отсчета угла" по прежнему должно проводиться против часовой стрелки, в противном случае (при выборе "ближайшего направления поворота от оси x к оси y") – менять знак угловой скорости на противоположное с тем, чтобы не "спутать" направление первоначального отсчета угла. В географии и геодезии за начало отсчёта углов по азимуту принято направление "на север", а сам угол отсчитывается по часовой стрелке. Таким образом, направлению "на восток" соответствует азимутальный угол 90°, "на юг" — 180°, "на запад" — 270°. В артиллерии предпочитают направление полярной оси "на юг" и соответствующий полярный угол называют также азимутом (направление "на запад" соответствует азимутальному углу 90°).
При рассмотрении плоскости нашего рисунка в 3-мерном пространстве направление оси z соответствует "направлению на нас", что соответствует "правой" (см. далее) системе 3-мерных координат (см. 3.7.1 "Ориентация осей координат и системы векторов в 3-мерном пространстве").
Ориентация осей координат и системы векторов в 3-мерном пространстве
Что же такое "ориентация" осей координат?
Ориентация осей координат в пространстве связана с их взаимным расположением и направлением вращения системы координат для их совмещения в направлении наименьшего угла поворота. Для этого есть две возможности. Во–первых, оси координат можно поворачивать в направлении x → y → z → x, при котором ось x занимает место оси y, в свою очередь ось y занимает место оси z, и далее по кругу ось z занимает место оси x, замыкая процедуру поворота. Во–вторых, все это можно проделать в обратном направлении: x → z → y → x. Графически эти отличия изображены на Рисунок 2а) и 2б). Для двумерного случая мы приняли, что упорядоченная пара двух неколлинеарных координатных осей имеет правую ориентацию, если кратчайший поворот первой оси вокруг их точки пересечения до положения сонаправленности со второй осью осуществляется против часовой стрелки, если мы смотрим на нее со стороны рисунка. В противном случае говорят, что эта пара осей имеет левую ориентацию. Поэтому и для трехмерного случая надо принять "согласованное" с двухмерным случаем решение. В соответствии с этим на Рисунок 2а) показана правая ориентация в той реализации, в которой глаза наблюдателя смотрят на оси x и y со стороны оси z, и направление ближайшего поворота оси x к оси yсоответствует направлению поворота против часовой стрелки. Такую ориентацию назовем правой по "генетическому" праву. Соответственно, на Рисунок 2б) показана левая ориентация систем координат, где направление ближайшего поворота оси x к оси y соответствует направлению поворота по часовой стрелки.
Подобным же образом определяется ориентированность трех векторов (a, b, c). Если при взгляде со стороны вектора a ближайший поворот от вектора b в сторону вектора c осуществляется против хода часовой стрелки, то эта тройка векторов ориентирована как "правая".
Для правильного определения правой системы векторов широко используется правило правой руки. Например, для определения силы Лоренца в Электродинамике расположите руки в соответствии с Рисунок 3. Сила Лоренца F по отношению к направлению движения положительного заряда V (а таковым направлением обладает направление течения тока I – от плюса к минусу) и направлению магнитной индукции B как тройка векторов (V, B, F).
Обратите внимание: направление хода часовой стрелки не зависит от системы координат. И оно согласовано с направлением хода Солнца на небосводе – слева направо, когда смотришь на него с северного полушария. Поэтому понятия "правой" и "левой" систем координат на Земле для людей, которые пользуются взаимно согласованными по направлению хода часами, абсолютно. Люди на Земле не могут спутать левую и правую ориентацию осей координат.
А вот некоторые племена, которые настолько цивилизованы, что имеют свою науку и свои часы со своим направлением хода, и живут на южном полушарии (или вообще где–то в далеком Космосе), и Солнце (возможно, ихнее) для них движется справа налево, и в соответствии с таким же, как у нас, приоритетом "правого" и "левого" выбрали то же направление для выбора "левого и правого ориентаций с.к. (возможно, договорились с нами без возможности непосредственного контакта), могут в реальности иметь противоположные с нами ориентации "правого" и "левого": с т.з. классической механики (и даже СТО и ОТО А.Эйнштейна) правое и левое отличить невозможно: пространство и время в них однородны и изотропны. Даже просто неправильный перевод слов "левый" и "правый" может иметь значение. Для синхронизации правого и левого между нами придется воспользоваться чем–то наблюдаемым и ориентированным, а главное – доступным всем в этой Вселенной, чтобы показать на него и сказать: эту ориентацию примем за стандарт правой (или левой) ориентации.
Что может быть таким, что мы все однозначно поймем как правое и левое? Даже электродинамика, в которой сила Лоренца по отношению к направлению движения положительного заряда ( а таковым для всех является протон) и направлению магнитной индукции как тройка векторов (v, B, F) ориентированы как правая система векторов, не поможет – если даже вектора v и F вполне измеримы вместе с направлением, то вектор магнитной индукции определяется по соглашению.
Остается единственный выход – в квантовой физике при слабых взаимодействиях нарушается принцип четности[1], т.е. правое и левое вполне четко различаются и детектируются. Так что чтобы нам договориться со всеми в этой Вселенной, необходимо как минимум понимать квантовую механику и уметь ставить эксперименты с четностью.
[1] URL: https://deru.abcdef.wiki/wiki/Parit%C3%A4tsverletzung.