Не надо думать, что вопрос с картинки меня интересует сам по себе. А вот как повод к более серьёзным размышлениям - вполне. За нижележащее прошу не ругать, оно так упрощённо описано специально, с философской, а не с математической точки зрения. Математики явно могут на эти вопросы смотреть иначе, с высоты своей профдеформации.
Начнём же с часто возникающего у школьников недоумения, почему любое число в нулевой степени равно единице.
Если мы хотим выяснить, что такое нулевая степень, нам, естественно, надо обратиться к тому, что же такое степень вообще и взять её определение.
Иными словами, степень изначально сокращённая запись длинного произведения. Тогда вопрос, а если степень равна 0?
Сразу же мы натыкаемся на то, что явилось, наверно, первым камнем преткновения в математике - понятие нуля.
Взгляните на картинку - вы можете легко сказать какое количество каких предметов на ней изображено.
А теперь взгляните на эту. Можете охарактеризовать её так же, как предыдущую?
Нет. На ней изображено НИЧЕГО. Никакого количества чего бы то ни было. Это явное следствие того, что ноль не является числом! И никогда не будет им являться.
Но как же быть? И как мы сейчас используем 0 в математике, и даже не замечаем, что он является чем-то особенным?
Для этого мы постоянно приписываем пустому месту дополнительный смысл, держа в уме то, что могло бы там быть, и благодаря этому можем приписать пустоте числовой смысл. В предыдущей картинке мы по контексту статьи можем приписать условный смысл отсутствия кухонной утвари, какого-то её количества. Это важно - ноль не бывает сам по себе, он, чтобы быть числом, должен нести дополнительный контекст.
Итак, чтобы рассматривать целую степень обобщённой на 0, добавим контекст, чтобы не было пустоты. Как мы знаем, при умножении на единицу произведение не меняется.
И сразу нулевая степень приобретает смысл
Немного (а может и много) нарушая строгость определения, можно назвать это аналитическим продолжением. Может быть математики подскажут более корректное определение такого способа обобщения. Ведь таких обобщений, помимо нуля, на самом деле много.
Это дробные числа, отрицательные числа, дробные степени, отрицательные степени, комплексные числа, пустые множества, собственно аналитические продолжения функций комплексного переменного и много ещё такого, чего я, может быть, и не знаю даже.
И самое интересное, что мы практически не задумывались, но точно такое же обобщение имеется в умножении.
А до этого в сложении, где мы сложением с нулём называем пустое действие, действие, которое не производится, тоже приписывая нулю свой контекст.
Конечно, с развитием математики такие обобщения описываются математически строго, хотя и не поручусь, что местами не рекурсивно. Мы же пытаемся понять суть, отталкиваясь от практического счёта, как формировалось всё то, что сейчас уже понятно сильно далеко не всем.
Теперь вы легко можете обьяснить себе чему равен факториал 0.
Неужели всё так просто? Конечно нет. Поскольку мы вносим какой-то контекст для определения нуля, становится важным, какой контекст мы вносим, получим ли мы от этого осмысленный результат. Следовательно необходимо себя проверять. Как?
Например, для степени мы можем проверить следующим образом. Если мы возьмём произведение произведений двух a и трёх a, мы автоматически получим произведение пяти a, что по определению степени соответствует правилу сложения степеней. Из определения деления выводится правило вычитания степеней, из которого получается вывод правила нулевой степени.
Таким образом мы получаем подтверждение, что контекст, который мы внесли в определение нулевой степени, работает в целочисленных степенях. Оказалось, что он работает и во многих прочих операциях, например, с точки зрения предела при дробных и даже вещественных степенях, когда мы рассматриваем 0 как предел бесконечно убывающей последовательности (это ещё одно обобщение нуля, ещё один его контекст, о котором можно поговорить отдельно).
Всегда ли работает наше обобщение? Нет. Исключением использования нулевой степени является основание 0. Ноль в нулевой степени не может быть обобщён внесением какого либо контекста, потому что нужно внести одинаковый в оба нуля, но смысл этих нулей разный и их контексты несовместимы.
Для примера рассмотрим два варианта - ноль в степени бесконечно малой величины и бесконечно малая величина в степени 0. В первом случае мы получаем в пределе 0, во втором - 1. Но одно и то же число не может быть одновременно и 0 и 1, следовательно результат не определён. Точно так же не определено деление на 0, из-за того, что нет контекста, который можно было бы присвоить этому действию над ничем.