Тем не менее, при рассмотрении окажется, что этот, по-видимому, столь решающий пример вовсе не является примером; что на каждом шаге арифметического или алгебраического вычисления присутствует реальная индукция, реальное выведение фактов из фактов; и что скрывает индукцию просто ее всеобъемлющая природа и вытекающая из этого крайняя общность языка. Все числа должны быть числами чего-то: абстрактных чисел не существует. Десять должно означать десять тел, или десять звуков, или десять ударов пульса. Но хотя числа должны быть числами чего-то, они могут быть числами чего угодно. Следовательно, суждения, касающиеся чисел, обладают той замечательной особенностью, что они являются суждениями, касающимися всех вещей вообще; всех объектов, всех существований любого рода, известных нашему опыту. Все вещи обладают количеством; состоят из частей, которые могут быть пронумерованы; и в этом характере обладают всеми свойствами, которые называются свойствами чисел. То, что половина из четырех равна двум, должно быть правдой, что бы ни означало слово "четыре", будь то четыре человека, четыре мили или четыре фунта веса. Нам нужно только представить себе вещь, разделенную на четыре равные части (и все вещи можно представить как разделенные таким образом), чтобы иметь возможность предикатировать для нее каждое свойство числа четыре, то есть каждое арифметическое предложение, в котором [стр. 281]число четыре стоит на одной стороне уравнения. Алгебра расширяет обобщение еще дальше: каждое число представляет это конкретное число всех вещей без различия, но каждый алгебраический символ делает больше, он представляет все числа без различия. Как только мы представляем себе вещь, разделенную на равные части, не зная, на какое количество частей, мы можем назвать ее a или xи применить к ней, без опасности ошибки, каждую алгебраическую формулу в книгах. Предложение, 2(a + b) = 2a + 2b, является истиной, сосуществующей со всей природой. С тех пор алгебраические истины верны для всех вещей, независимо от того, а не, как в геометрии, верны только для линий или только для углов, неудивительно, что символы не должны возбуждать в наших умах представления о каких-либо вещах в частности. Когда мы демонстрируем сорок седьмое положение Евклида, необязательно, чтобы слова вызывали в нас образ всех прямоугольных треугольников, но только какого-то одного прямоугольного треугольника: поэтому в алгебре нам не нужно, чтобы под символом a, представьте себе все, что угодно, но только что-то одно; почему бы тогда не само письмо? Простые письменные символы a, b, x, y, zслужат также для представителей Вещей в целом, как и любая более сложная и, по-видимому, более конкретная концепция. То, что мы осознаем их, однако, в их характере вещей, а не в простых знаках, очевидно из того факта, что весь наш процесс рассуждения осуществляется путем предсказания их свойств вещей. Решая алгебраическое уравнение, по каким правилам мы действуем? Применяя на каждом шаге к a, bи x предложение, которое равно, добавленное к равному, делает равным; что равное, взятое из равного, оставляет равным; и другие предложения, основанные на этих двух. Это не свойства языка или знаков как таковых, а величины, то есть, можно сказать, всего сущего. Выводы Таким образом, что последовательно обращается, являются умозаключения о вещах, а не символами, хотя, как и любой вещи, что будут обслуживать свою очередь, нет необходимости для поддержания идеи, что у всех различны, и, следовательно, процесс мышления может, в этом случае допускается без опасности сделать [стр. 282]то, что все процессы мышления, когда они часто выполняются, будут делать, если им будет позволено, а именно, становиться полностью механическими. Следовательно, общий язык алгебры начинает использоваться фамильярно без захватывающих идей, как и все другие общие языки, склонные делать это просто по привычке, хотя ни в каком другом случае, кроме этого, это не может быть сделано с полной безопасностью. Но когда мы оглядываемся назад, чтобы понять, откуда берется доказательная сила процесса, мы обнаруживаем, что на каждом отдельном шаге, если только мы не предполагаем, что думаем и говорим о вещах, а не просто о символах, доказательства терпят неудачу.
Есть еще одно обстоятельство, которое, еще в большей степени, чем то, о котором мы сейчас упомянули, придает правдоподобие представлению о том, что предложения арифметики и алгебры являются просто словесными. Это означает, что, когда их рассматривают как предложения, касающиеся Вещей, все они кажутся одинаковыми предложениями. Утверждение "Два и один равны трем" рассматривается как утверждение, касающееся объектов, как, например, “Два камешка и один камешек равны трем камешкам”. не утверждает равенства между двумя коллекциями гальки, но абсолютную идентичность. Это подтверждает, что если мы положим один камешек на два камешка, то этих самых камешков будет три. Следовательно, поскольку объекты являются одним и тем же, а простое утверждение о том, что “объекты сами по себе” незначимы, кажется естественным рассматривать предложение "Два и один равны трем" как утверждение простого тождества значений между двумя именами.
Это, однако, хотя и выглядит так правдоподобно, не выдержит проверки. Выражение “два камешка и один камешек” и выражение “три камешка” действительно означают одну и ту же совокупность объектов, но они никоим образом не означают один и тот же физический факт. Это имена одних и тех же объектов, но этих объектов в двух разных состояниях: хотя они отмечают одни и те же вещи, их конобозначения разные. Три камешка в двух отдельных посылках и три камешка в одной посылке не производят одинакового впечатления на наши чувства; и утверждение, что одни и те же камешки могут быть изменены путем изменения места и расположения, чтобы произвести [стр. 283]либо один набор ощущений, либо другой, хотя и очень знакомое утверждение, не являются идентичными. Это истина, известная нам из раннего и постоянного опыта: индуктивная истина; и такие истины являются основой науки о числе. Фундаментальные истины этой науки все основаны на доказательствах смысла; они доказываются, показывая нашим глазам и нашим пальцам, что любое заданное количество объектов, например, десять шаров, может путем разделения и перестановки показать нашим органам чувств все различные наборы чисел, сумма которых равна десяти. Все усовершенствованные методы обучения детей арифметике основаны на знании этого факта. Все, кто хочет увлечь ум ребенка изучением арифметики; все, кто хочет учить цифрам, а не простым шифрам,—теперь учите этому с помощью доказательств чувств, описанным нами способом.