Здравствуйте! Сегодня мы рассмотрим задачу, у которой довольно много способов решения. В этой статье мы решим задание с помощью теоремы Пифагора, теоремы о биссектрисе треугольника и метода площадей. Посмотрим на условие.
В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 96. Найдите стороны треугольника ABC.
Сделаем рисунок.
Посмотрим на треугольники AFB и DFB: они прямоугольные (AD и BE пересекаются под прямым углом), у них ∠ABF=∠DBF по определению биссектрисы. Кроме того, треугольники имеют общий катет BF. △AFB=△DFB по катету и острому углу.
Получается, у этих треугольников AB=DB и AF=DF.
Теперь мы видим, что BC=2AB, а AF=FD=96/2=48.
Найдём отношение BF к FE, чтобы затем по теореме Пифагора найти AB.
Для этого воспользуемся методом площадей.
Сначала найдем отношение AE к EC. По теореме о биссектрисе треугольника (BE -- биссектриса △ABC)
Посмотрим на треугольники EAF и CAD. У них есть общий угол EAF (∠EAF=∠CAD).
Площади этих треугольников найдём по формуле площади треугольника по двум сторонам и углу между ними.
S(EAF)=(48*x*sin EAF)/2=24x*sin EAF
S(CAD)=(96*3x*sin CAD)/2=144x*sin CAD=144x*sin EAF (∠EAF=∠CAD).
Найдём отношение площадей этих треугольников:
Площадь треугольника CAD -- это 6 частей, а площадь треугольника EAF -- это 1 часть. Треугольник CAD состоит из треугольника EAF и четырёхугольника CEFD. Значит, площадь треугольника CAD -- это сумма площадей треугольника EAF и четырёхугольника CEFD.
S(CAD)=S(EAF)+S(CEFD)=1 часть+S(CEFD)=6 частей
S(CEFD)=5 частей.
Отметим это на рисунке, считая, что 1 часть -- это a.
Треугольник ABC состоит ещё из двух треугольников -- AFB и DFB. Их площади равны как площади равных треугольников. Обозначим площадь каждого из этих равных треугольников за b.
Чтобы найти отношение BF к FE, воспользуемся тем, что у треугольников, имеющих общую высоту, площади относятся как отношение оснований этих треугольников.
Нам нужно оставить только одну букву для обозначения частей -- либо a, либо b. Для этого найдём такие треугольники, у одного из которых площадь будет выражаться через части под буквой a, а у другого -- через части под буквой b. Это треугольники ABD и ACD. Их площади равны, так как медиана делит треугольник на два равных по площади.
S(ABD)=S(ACD)
2b=6a
b=3a
Заменим на рисунке b на a.
У треугольников, имеющих общую высоту, площади относятся как отношение оснований этих треугольников.
Так как треугольники ABF и AEF имеют общую высоту AF, а площадь треугольника ABF больше площади треугольника AEF в 3 раза, то и BF в 3 раза больше FE.
BE=96 (по условию), а BF=3FE. Получается, BE=BF+FE=3FE+FE=4FE=96.
FE=24, а BF=72.
Теперь осталось только по теореме Пифагора найти AB и AE, а из этого найти BC и AC -- стороны треугольника.
По теореме Пифагора в прямоугольных треугольниках AFB и AFE:
Заметим, что AC=3AE, а BC=2AB.
Это решение, записанное как в школе
Спасибо за прочтение статьи! Ждите разбор других задач второй части ОГЭ по математике. До встречи! ;)
#огэ по математике #геометрия #планиметрия #математика #9 класс