Родился 4 июня 1890 года в Симферополе, в семье часового мастера.
В 1900 семья переехала в Тифлис. Окончил Тифлисскую 1-ю гимназию с золотой медалью (1909) и музыкальное училище по классу скрипки (1904–1909). Прошел полный курс Императорского Санкт-Петербургского университета на естественном отделении физико-математического факультета (1909–1916).
В годы Первой мировой войны был мобилизован и направлен в Константиновское артиллерийское училище (1916/1917), откуда попал на Кавказский фронт в качестве прапорщика артиллерии (1917–1918). После демобилизации из-за контузии, вернулся в Тифлис, где начал вести теоретические предметы и хоровой класс в Музыкальном училище (1919–1921).
В 1925 году окончил Ленинградскую консерваторию по классу композиции у А. Житомирского. С того же года преподавал в Ленинградской консерватории (с 1939 года — профессор), заведовал кафедрами композиции и полифонии.
Во время Великой Отечественной войны был с семьей эвакуирован в Ташкент (1941–1943), откуда в 1943 году Иосиф Орбели вывез их в Ереван. В Ереванской консерватории: вел теоретические предметы (1943–1949) и заведовал Сектором истории и теории искусств АН Армении (1944–1948).
В 1949 вернулся в Ленинград. Увлеченно занимался научно-методической и музыкально-общественной работой. Его новаторский педагогический метод обучения композиторов и теоретиков, система обучения полифонии оказала огромное влияние на различные стороны отечественной музыкальной культуры.
Основоположник новой методики изучения полифонии — предложил оригинальную интерпретацию ладовых систем, основанную на исследованиях строгого стиля и армянской монодии. Многолетнее изучение армянского фольклора привело к созданию фундаментального труда «Вопросы истории и теории армянской монодической музыки» (1958).
Он тщательно проследил процесс её зарождения и многовекового развития в общем контексте культур других древних народов Ближнего Востока и Закавказья; выявил взаимосвязь и общие стилистические черты различных ветвей армянской монодии, их композиционные особенности и т.д. Работая в Армении, Х.С. Кушнарёв собрал и исследовал большое количество образцов армянской народной музыки.
Несмотря на занятость научно-педагогической деятельностью, продолжал сочинять музыку, создав Двойную фугу ми минор для фортепиано (1924), Сонату для виолончели соло (1936), Десять хоров a cappella на армянские народные темы (1922–1939), Музыку к драматическим спектаклям «Шах-наме» (1935) и «Завтра» (1937).
Среди неоконченных и неизданных произведений разных лет: Музыка к драматическому спектаклю «Роза и крест» (1937); Струнный квартет (1943), «Азат ашхар» («Свободная страна») для хора a cappella на слова Сармена (1944), Гимн Армении — для хора с фортепиано (1944), «Гацек-тесек» («Идите-взгляните») — обработка армянской народной песни для хора с фортепиано.
Ушёл из жизни 25 января 1960 года в Ленинграде.
Как педагог, Христофор Степанович внёс значительный вклад в обновление программ и методов преподавания музыкально-теоретических дисциплин, воспитал плеяду композиторов и музыковедов различных национальных школ Советского Союза.
Имя Кушнарёва носит одна из музыкальных школ Еревана. Христофор Степанович основатель Санкт-Петербургской полифонической школы. Заслуженный деятель искусств Армении (1939) и Узбекистана (1943).