Привет, решим такую задачку.
В прямоугольном треугольнике ABC проведена биссектриса ВЕ, а на гипотенузе ВС взята точка М так, что ЕМ ⊥ ВЕ. Найдите площадь треугольника АВС, если СМ=1, СЕ=2.
Рассмотрим треуг. АВЕ и обозначим <АВЕ за d. Тогда <АЕВ = 90 - d. Тогда <МЕС = 180 - 90 - (90 - d) = d = <MBE. Запишем на чертеже.
Треугольники ЕМС и ВЕС подобны по двум равным углам: <C - общий, <ЕВМ = <МЕС, значит отношения соответственных сторон одинаковы.
МС/ЕС = СЕ/СВ => ВС = 4 => ВМ = 3
ВЕ - биссектриса, по свойству биссектрисы ВС/ВА = ЕС/ЕА => ВС/ЕС = ВА/ЕА по свойству пропорции = 2 => ВА = 2АЕ.
Треугольники АВЕ и ЕВМ также подобны по двум углам: они п/у и имеют <d. => AB/BE = BE/BM. Пусть АЕ = х, тогда АВ = 2х, тогда по теореме Пифагора ВЕ = sqrt(x^2 + (2x)^2) = x*sqrt(5) (sqrt = square root = квадратный корень).
Аналогично ВМ = sqrt(5x^2 + 1.25x^2) = 2.5x, т.к. ВЕ = 2ЕМ по подобию.
2,5х = 3 => x = 1.2 => AB = 2.4, AC = 2 + x = 2 + 1.2 = 3.2
Площадь п/у треугольника находится как половина произведения катетов.
S = 3.2 * 2.4 / 2 = 3.84
Ответ: 3,84.
Спасибо за внимание!!!