Небольшая математическая пауза на нашем канале. Математика вообще красивая наука и даже в школе её даётся не так и мало, если эти знания с толком применять(то есть понимать). К сожалению сейчас традицию понимания материала заменяют натаскиванием на ЕГЭ, и очень зря. Поэтому не знаю, будет ли интересна статья современным школьникам, но возможно старые, советские найдут материал занимательным.
Бытует мнение, что нахождение тригонометрических функций sinx и cosx доступно только “небожителям” знающим высшую математику, ряды Тейлора и т.д. На самом деле с довольно высокой точностью их можно найти вполне “школьными” методами. Пусть напрямую это никогда не проходили, тем не менее если немного поработать над задачкой, то проблема становиться решаемой.
Думаю все знают, что при малых углах sina≈a (1) . Это вытекает из несложного геометрического построения, которое мы видим на рис1. Дуга длинной a даже при достаточно значительном угле примерно совпадает с вертикальной прямой, длина которой равна sina. Чем меньше будет угол, тем больше будет совпадение.
Ну, а дальше используем формулу:
Можно ли найти что-то ещё? Да , вполне. Из школьной тригонометрии мы знаем формулу sin2x=2sinx*cosx (3). Так как чем меньше угол тем точнее формула(1) , то понятно, что sin2x точнее вычислять именно по формуле (3), а не напрямую по формуле (1). Имеем:
Однако мы можем продолжить. Ведь раз синус угла x точнее вычислить через половинный угол x/2, то через угол x/4 вычисления будут ещё точнее.
Подставим (5) в (4) получим
Нетрудно показать, что если мы будем бесконечно делить угол x пополам и получать sinx , то придём к выражению.
Теперь можно найти и уточненное значение cosx:
Нетрудно уже догадаться, что выражения (6) и (8) , если их дальше уточнять, станут бесконечными рядами:
Но, к сожалению, школьными методами мы уже доказать это не можем, тут нужна высшая математика.