- Подготовка к ЕГЭ
Давайте, разбирая далеко не самое сложное задание по тригонометрии, порассуждаем о том, на что нужно обязательно обратить внимание.
Итак, задание:
Начнем с пункта а)
Первый фокус внимания у нас должен быть связан с изучением ОДЗ (области допустимых значений переменной "икс"). Выражение в скобках полностью "безопасно", и "икс" может быть любым. А наличие корня-множителя сразу намекает нам на необходимость предусмотреть ограничения!
Помните об этом? Конечно, это не так опасно, как найти змею, но смотря что вы рассчитываете :) Если ошибетесь в серьезных расчетах или исследованиях, забыв об этом, последствия могут быть печальными. В учебе все не так страшно. Но важно быть аккуратным!
Так и хочется сказать на мотив Маяковского:
Подкоренное выражение обязано быть неотрицательным (то есть большим, либо равным нулю), если мы ищем решения в области действительных чисел.
К слову, несмотря на то, что мы изучаем в старших классах комплексные числа, на ЕГЭ эта тема не выносится. Так что все задания предполагают решения в области действительных чисел, и только. В принципе, можно этому порадоваться, верно?
Итак, это уже дает нам первое понимание структуры решения. Запишем условие неотрицательности подкорневого выражения:
При делении на отрицательное число не забываем изменить знак неравенства на противоположный. То есть меняем "больше или равно" на "меньше или равно".
Квадратные скобки говорят о нестрогом неравенстве, то есть "края" включены в допустимый отрезок.
Итак, синусы должны быть нулевыми или отрицательными, чтобы подкоренное выражение -6sinx было неотрицательным. А отрицательная зона синусов - это нижняя часть тригонометрической окружности (нижняя полуокружность). То есть какие бы корни в реальности у нас не появились при решении уравнения, мы будем принимать в качестве верных (можно сказать "верифицировать") лишь те, которые принадлежат указанной зоне.
Ну а следующий шаг исходит из простого и древнего правила:
ПРОИЗВЕДЕНИЕ РАВНО НУЛЮ, ЕСЛИ ХОТЯ БЫ ОДИН ИЗ МНОЖИТЕЛЕЙ РАВЕН НУЛЮ.
То есть либо первая скобка равна нулю, либо корень.
Дальше - вопрос. Как записать правильнее? Записать ОДЗ, и затем решать уравнение и после решения вернуться к ОДЗ, либо перевести запись уравнения в эквивалентную систему?
Год от года требования к оформлению могут меняться. Но в целом главное решать правильно и свое решение обосновывать. Тогда и придираться к вам не будут. Предложу такой вариант с ОДЗ и переводом к эквивалентной системе:
Заметим, что слева (квадратная скобка) - это значок "совокупности" (и это не про то, что сов покупают!) :) Совокупность - это как раз замена выражения "или". То есть и первый вариант, когда синус равен нулю, и второй вариант, когда скобка равна нулю (при отрицательном синусе), нам подходят. Так что или верхнее решение нам подойдет, или нижнее (система). Любое из них будет означать решение всего уравнения.
Ну а дальше просто решаем. Либо по очереди - сначала первое, потом второе, либо "тянем" систему до конца. Первое решается просто:
"Синусы" - это проекции сторон угла на вертикальную ось тригонометрического круга. Нулевая проекция - это "нулевой" угол, угол "пи" (180 градусов), "два пи" и так далее. Множитель "k", как всегда принадлежит множеству целых чисел. То есть мы можем прибавлять "полкруга" в плюс, или в минус. Вот эти точки:
Решаем далее "скобку", используя преобразование через основное тригонометрическое тождество:
Надеюсь, здесь все понятно. Если есть вопросы, пишите.
"Косинусы", как мы помним, это проекции стороны угла на горизонтальную ось. Косинусы "обнуляются", когда угол становится перпендикулярным горизонтали, то есть это углы 90 градусов, 270 градусов и так далее (или "пи пополам", "три пи пополам" и другие).
Косинус, равный "корень из двух, делить на два" - тоже соответствет стандартному (табличному) углу в 45 градусов или "пи делить на четыре". Дополнительно вспоминаем, что проекции на горизонтальную ось тригонометрического круга симметричны относительно этой оси, поэтому перед "пи на четыре" пишем "+/-".
Итак, изображаем на окружности все точки и рассматриваем их с учетом ОДЗ. Получаем следующее:
Здесь сразу отмечаем те углы, которые не попадают в область, разрешенную по ОДЗ. Это верхний угол "пи пополам плюс пи ка", а также положительный "пи делить на четыре плюс 2 пи ка". Для того, чтобы отметить только нижние "пи пополам плюс пи ка", запишем так:
Решение в общем виде готово. Остается посмотреть на те решения, которые находятся на указанном в задании отрезке.
Но прежде, чем это сделать, приведу общее решение с использованием эквивалентной системы от начала до конца.
Такой формат записи не обязателен, но относительно компактен.
Итак, давайте теперь посмотрим на то, какие корни из общего решения (то есть в нижней части тригонометрического круга) принадлежат указанному отрезку:
Всё!
В данном случае довольно легко разобраться с корнями на отрезке. Встречаются и более сложные примеры. Их разберем в других заметках и статьях.
Если есть вопросы, пожалуйста, пишите. И до встречи!
#егэ математика профиль #егэ по математике #подготовка к егэ #тригонометрия егэ #тригонометрическое уравнение #егэ уравнение #егэ одз
