Путаетесь в решении тригонометрических уравнений с корнем? Открывайте статью — расскажем секреты.
Основных сложностей в задании несколько. Во-первых, нужно грамотно решить пример. Для этого требуется знать правила упрощения. Вторая сложность — необходимость отбора корней. Как это сделать, расскажем в статье.
Тригонометрическое уравнение — что это?
Особенность уравнений — они содержат функцию синуса, косинуса, тангенса или котангенса. Могут быть и другие сложности, например наличие степеней. Для решения без отбора корней можно использовать формулы:
- sinx = a при |a| ≤ 1 → x = (-1)narcsina + πn;
- cosx = a при |a| ≤ 1 → x = ± arccosa + 2πn;
- tgx = b при b — любое число → x = arctgb + πn;
- сtgx = b при b — любое число → x = arcсtgb + πn.
Нужно учитывать, что корни многих тригонометрических уравнений конечны. Например, вы выражении sinx = -1 получаем x = π/2 + 2πn. Есть таблица подобных значений, но она достаточно большая, приводить ее в статье мы не будем.
Как отбирать корни
Методы отбора корней — важная часть решения, которая определяет, получите ли вы баллы. Но сначала выполним один простой пример без области допустимых значений.
Задание.
а) Решить cos2x - 3cosx + 2 = 0
б) Провести отбор ответов, принадлежащих отрезку -4; -52
Решение.
Воспользуемся формулой косинуса двойного угла:
2cos2x - 1 - 3cosx + 2 = 0
Необходимо привести однородные слагаемые:
2cos2x - 3cosx + 1 = 0
Проводим замену:
Пусть cosx = t, где |t| ≤ 1
В результате получается
2t2 - 3t + 1 = 0
Ищем дискриминант, корни уравнения:
D = (-3)2 - 4 • 2 • 1 = 9 - 8 = 1
x1=3+122=44=1
x2=3-122=24=12
Осталось вернуться к исходной переменной:
cosx = 1 → x = 2πn, n ∈ Z
cosx = ½ → x = ± π/3 + 2πk, k ∈ Z
Пункт «а» выполнен. Для решения пункта «б» проведем отбор корней несколькими способами.
Арифметический
Самый простой способ. Подставляем вместо n числа 1, 2, 3 и т.д. После необходимо посчитать корень и определить, попадает ли он в отрезок. Разберем на примере ответа x = 2πn. Отрезок отрицательный — значения берем с минусом.
При n = -1 получаем x = 2 • (-1)π = -2π = -4π/2. Это больше, чем -5π/2, следовательно, ответ: не принадлежит отрезку.
При n = -2 получаем x = 2 • (-2)π = -4π. Число принадлежит отрезку.
При n = -3 получаем x = 2 • (-3)π = -6π. Это меньше, чем -4π, следовательно, значение не принадлежит отрезку.
Аналогичным образом анализируем остальные корни.
Алгебраический
Составляем двойное неравенство, крайними значениями будут точки из отрезка. После упрощаем, чтобы получить ответ.
Пример: -4π ≤ 2πn ≤ -5π/2
Все три части нужно разделить на «2π»:
-2 ≤ n ≤ -5/4
Есть условие n ∈ Z. Оно ограничивает значения, поэтому: n = -2. Поставляем это число, в ответе получаем: x = -4π.
Геометрический
Это классический школьный способ, поэтому возможно, что вы с ним знакомы. Рисуем единичную окружность, наносим на нее числа из отрезка и корни. Чтобы определить промежуток, двигаемся против часовой стрелки. Далее графически смотрим, попадают ли корни в промежуток.
По графику понятно, что всего в отрезке два корня. Один из них определить легко, это -4π. Для второго проводим вычисления: -4π + π/3 = -11π/3.
Функционально-графический
Необходимо нарисовать функцию косинуса, беря за “y” значения от 0,5 до -1. Наносим на график промежуток и определяем абсциссы точек пересечения. Корни аналогичны ответам из других способов.
Мы разобрали способы отбора корней в тригонометрических уравнениях. Информация поможет в решении номеров из ЕГЭ, позволит получить более высокий балл на экзамене. В школе мало практики, вы хотите заниматься дополнительно? Записывайтесь на курсы от центра «Уникум» при Российском университете дружбы народов. Мы предлагаем:
- очные занятия в аудиториях РУДН, возможность отдыхать в красивой парковой зоне с фонтанами;
- дистанционные занятия, включающие в себя вебинары с преподавателем и возможность задать все вопросы;
- доступ к учебному порталу с лекциями и полезными материалами.
Содержание данной статьи носит ознакомительный характер. Для подготовки к сдаче ЕГЭ пользуйтесь дополнительными источниками информации!