Математический анализ с нуля, часть 1

Примеры множеств

существует большое количество множеств

Множество действительных (вещественных) чисел

Множеством действительных чисел будем называть любое множество R, подчиняющееся следующей системе условий, называемых аксиомами действительных чисел (которые разделены на естественные группы).

1. Аксиомы сложения
2. Аксиомы умножения
3. Аксиомы связи сложения и умножения
4. Аксиомы порядка
5. Аксиомы связи порядка, сложения и умножения
6. Аксиома полноты

Модель множества действительных чисел

Дадим представление об одном из способов построения модели множества действительных чисел, отталкиваясь от множества рациональных чисел. Данный способ носит название метода сечений Дедекинда.

Вся суть Д. С. заключается в следующем.

пусть Q - множество вещественных чисел, которое является упорядоченным. Назовем сечением множества рациональных чисел  всякое разбиение его на два непустых непересекающихся подмножества  и  — на два класса; класс  назовем нижним (левым), а класс  — верхним (правым). При этом должны выполняться условия:

1.) Каждое число из класса  меньше всякого числа из класса ;

2) в нижнем классе нет наибольшего числа, а в верхнем—нет наименьшего.