В школе эту тему обычно проходят на информатике, а не на математике. И проходят её не совсем в то время, в которое нужно было бы. Поэтому дети либо не понимают вообще, либо запоминают алгоритм, чтобы написать контрольную, но не понимают что к чему и почему.
На самом деле там всё просто.
В десятеричной системе счисления, которые мы все привыкли пользоваться, есть 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Она потому и называется десятеричной, потому что для записи любого числа используются эти десять цифр.
Двоичная же система счисления потому и называется двоичной, что в ней для записи любого числа используются всего две цифры: 0 и 1.
Из десятеричной в двоичную
Теперь давайте поговорим о том, как переводить числа из десятеричной системы счисления в двоичную. Я буду показывать на примере целых чисел.
Рассмотрим число 123 в десятеричной системе и переведем его в двоичную. Для этого нам просто нужно делить его уголком на два до тех пор, пока есть, что делить.
123:2=61 (остаток 1)
Теперь 61 делим на 2. 61:2=30 (остаток 1)
Теперь 30 делим на 2. 20:2=15.
Теперь 15 делим на 2 и так далее.
На фото ниже схема того, что у нас должно получиться.
Остается только записать цифры, обведенные красным кружочком, справа налево. Вуаля, всё готово: 123₁₀=1111011₂. Число 123 в двоичной системе счисления будет выглядеть как 1111011.
Из двоичной в десятеричную
Теперь будем переводить наоборот, из двоичной в десятеричную. Любое число в десятеричной системе можно записать в виде суммы произведений цифр разрядов на десятки в степени разряда. Звучит сложно и страшно, но, если перевести на человеческий язык, то получится следующее.
Число 123 — это краткая запись числа в десятеричной системе счисления, а полная будет выглядеть так: 123=1•10²+2•10¹+3•10⁰.
В двоичной всё то же самое, только вместо степеней десятки у нас будут степени двойки (система-то двоичная). Мы уже знаем, что 123₁₀=1111011₂, поэтому переведем число 1111011 из двоичной системы счисления в десятеричную. Должно получиться 123.
Действуем по тому же приницпу, что и два абзаца выше. Распишем краткую запись числа 1111011 в виде суммы произведений цифр разрядов и двоек в степени разряда. 1111011₂=1•2⁶+1•2⁵+1•2⁴+1•2³+0•2²+1•2¹+1•2⁰=64+32+16+8+0+2+1=123₁₀. Вот и вся история.
Дроби тоже можно переводить из одной системы счисления в другую, но алгоритм будет немного другой, хотя и там нет ничего сложного. Возможно, когда-нибудь я запишу видео или напишу ещё одну статью на эту тему.
А пока не забываем, что у меня помимо этого канала есть Ютуб, Инстаграм и ТикТок, на которые лучше подписаться, чтобы не потеряться, если вдруг с этим каналом что-то случится.
Ещё интересно: Американский метод решения уравнений. Никакой путаницы со знаками не будет
Что у француза 80, у шведа — 100, а у немца — 180? Классный вопрос из "Что? Где? Когда?"