Суть Теории игр состоит в том, чтобы определить стратегию и формализовать принятие оптимального решения.
"Фон Нейман создал условия для возникновения новой математической теории, известной сегодня как теория игр. С этого момента игры перестали быть развлечением и превратились в сценарий, в котором двое или более человек могли развивать рациональные стратегии, чтобы повлиять на результат партии. Сценарии могли быть абсолютно разными, и для их реализации был необходим такой фундаментальный аспект, как принятие решений. Для игры важны три фактора: сценарий, случайность и заклад. Грасиан Родригес Энрике "Фон Нейман. Теория игр"
Под игрой понимается процесс, в котором участвуют две и более сторон, ведущие борьбу за реализацию своих интересов. Каждая из сторон имеет свою цель и использует некоторую стратегию, которая может вести к выигрышу или проигрышу — в зависимости от поведения других игроков. Теория игр помогает выбрать лучшие стратегии с учётом представлений о других участниках, их ресурсах и их возможных поступках. Википедия
Сценарий игры — первый шаг к пониманию ее структуры, он позволяет создавать математические модели в очень простых ситуациях, таких как партия в шашки, или в очень сложных — например, в настоящем военном сражении.
В любой игре всегда в той или иной степени присутствует случай, который определяет уровень инициативы игроков при выборе стратегии. В играх, где случай почти не играет роли, например в шахматах, инициатива игроков имеет решающее значение. Напротив, в играх, целиком построенных на случае, например при подкидывании монеты, инициатива игроков ограничена закладом.
Заклад — это то, на что идет игра. Он может быть нематериальным — как, например, умения или честь игрока, а вот в игре в рулетку на кону может стоять даже жизнь. В любом случае во всех играх есть тот или иной заклад, даже когда никто ни на что не играет и когда нельзя определить, кто выиграл, а кто проиграл. Самая важная характеристика заклада состоит в том, что ему можно присвоить номер. В самом простом случае, когда речь идет о выигрыше или проигрыше, номера могут быть соответственно 1 и 0. Когда чему-то можно присвоить номер, значит, к нему можно применить математический подход.
Теория вероятностей и статистика, как науки развивались, в том числе, вследствие систематического изучения игр, их целью было предугадывание результата, а не сама природа игры. Фон Нейман первым стал рассматривать сущность игры как научный факт. У него игра предстала не как событие, зависящее главным образом, от воли случая, а как конфликт интересов.
В конце 1926 года, еще будучи стипендиатом Гёттингенского университета, фон Нейман поразил всех, собрав конференцию по теории игр в помещении Математического общества университета. После нее фон Нейман написал статью "Теории стратегических игр", которую направил в журнал Mathematische Annalen. В своей первой работе ученый провел математическую формализацию антагонистических ситуаций, в которых участвуют два игрока.
Существует пример, который, благодаря своей необыкновенной простоте, часто используется, чтобы объяснить, какие цели преследует теория игр: разрезание торта:
"Предположим, два человека должны поделить торт. Обычно в этом примере речь идет о детях: считается, что дети очень любят сладкое и потому хотят получить самый большой кусок, и это позволяет лучше понять ситуацию. Детский индивидуализм — идеальное качество для нужных нам игроков. Дележ торта будет происходить так: ребенок А будет резать торт, а ребенок В — первым выбирать себе кусок. Таким образом, ребенок А должен всегда помнить о ребенке В и о том, что после того, как он разрежет весь торт, В заберет себе самый большой кусок. Это условие является основополагающим для выбора наилучшей стратегии, которая, разумеется, состоит в том, чтобы разрезать торт на две равные части. Любой другой вариант опасен. Если, например, А подумает, что В — очень хороший и воспитанный ребенок и потому возьмет себе кусок поменьше, то он начнет резать торт на неравные куски. Но это решение содержит много рисков и основывается на догадках или дополнительной информации, которая не имеет ничего общего с игрой." Грасиан Родригес Энрике "Фон Нейман. Теория игр"
Это объяснение может показаться слишком простым, но в нем содержатся все ключевые элементы, определяющие сценарий, выбранный для теории игр. Ситуация типа «я играю только для того, чтобы приятно провести время, меня не беспокоит проигрыш, и вообще я могу позволить выиграть своему противнику» может быть вполне оправданной во многих сценариях, но не в теории игр. В ней игроки рассматриваются прежде всего как рациональные люди, думающие только о своем интересе, чья цель — выиграть.
Игра с двумя игроками и нулевой суммой
Обобщая, можно сказать, что игра — это процесс, в котором участвуют два или больше игроков, действующих по строго определенным правилам. Участники могут принимать решения, формирующие особую стратегию, которая может повлиять на ход игры. Цель игры — получить некую выгоду, поэтому одним из ключевых ее понятий является платеж — более общее понятие по сравнению с закладом. Платеж может существовать в виде приза вне самой игры, который делится между несколькими игроками, или же представлять собой штраф. Например, в соревновании двух игроков один выигрывает (получает положительный платеж), а второй проигрывает (получает отрицательный платеж).
Опираясь на понятие платежа, можно провести первую классификацию игр и разделить их на две большие группы: игры с нулевой и ненулевой суммой. В игре первого типа игроки борются за один приз или платеж, а сумма всех выигрышей равна сумме всех проигрышей. Игры, в которых можно одновременно выбирать несколько призов, называются играми с ненулевой суммой.
Спектр игр с нулевой суммой очень широк. Именно к этой категории относятся такие игры, как шашки или шахматы: когда один игрок получает очко, другой его теряет. Можно сказать, что один получает положительное очко, а второй — отрицательное. Такой сценарий фон Нейман назвал игрой с нулевой суммой для двух игроков. Эта схема включает в себя большое количество соревновательных игр. В них игрок получает все или ничего, борьба идет до конца, то есть игра заканчивается, когда один игрок побеждает, а другой проигрывает. Другими словами, игроки не могут сотрудничать друг с другом.
Предшественником фон Неймана в математической теории конфликта интересов был французский математик Эмиль Борель (1871-1956), опубликовавший с 1921 по 1927 год серию работ по теории игр, целью которых было установить выигрышные стратегии вне зависимости от фактора удачи или психологического состояния игроков в момент принятия решений. Несмотря на то что их работы в чем-то схожи, фон Нейман всегда утверждал, что проводил свои исследования совершенно независимо от Бореля. Некоторые ученые отстаивают важность его вклада математическую теорию конфликта интересов, говоря об этой теории, называют ее теорией Бореля — Неймана.
Спасибо за внимание! Продолжение следует