В 1982 году 16-летний Григорий Яковлевич Перельман в составе команды, представляющей Советский Союз, участвовал в международной олимпиаде по математике (это ежегодный "чемпионат мира по математике" среди школьников старших классов). Официальный сайт данной олимпиады - http://www.imo-official.org/). Немного о правилах (более подробно - http://www.imo-official.org/documents/RegulationsIMO.pdf, правила достаточно интересные. Так, например, лидер команды - он не участвует в соревнованиях - знакомится со списком потенциальных задач, "shortlist", и должен уведомить жюри, если какие-то задачи знакомы либо его подопечным либо людям, принимавшим участие в подготовке команды). Соревнование проходят в течении двух дней подряд. Каждый день участникам даётся 4 с половиной часа на решение 3-х задач. Каждая задача оценивается по 7-ми бальной системе. По итогам соревнования подводится личный и командный зачёты.
В 1982 году Советский Союз представляли следующие школьники (в 1982 году население Советского Союза составляло более 260 млн. человек. И эти 4 школьника представляли всю нашу большую, многомилионную страну!!!):
- Григорий Перельман
(https://ru.wikipedia.org/wiki/Перельман,_Григорий_Яковлевич);
- Константин Матвеев (???);
- Александр Спивак (???);
(https://ru.wikipedia.org/wiki/Спивак,_Александр_Васильевич);
- Владимир Титенко (???);
И вот их результаты!!!
(https://www.imo-official.org/team_r.aspx?code=USS&year=1982)
Григорий Перельман блестяще справился со всеми заданиями, получив за каждую задачу максимальный бал!
В тот год только 3 участника (из стран Вьетнам, Германия, СССР) показали максимальный результат (https://www.imo-official.org/year_individual_r.aspx?year=1982):
Команда СССР выступила, в целом, успешно, заняв в итоговом протоколе 2-ое командное место! Опередив команды США и Германской Демократической Республики на 1 бал, и уступив победителю, команде Германии, 8 балов.
(https://www.imo-official.org/year_country_r.aspx?year=1982&column=p2&order=desc)
А теперь сами задачи!!! Каждый может попытаться их решить!!! :)
(скачать pdf-файл на английском языке с условиями задач можно по адресу - https://www.imo-official.org/problems.aspx?&column=year&order=desc&language=ru. Ниже приведены варианты на английском и русском языке). Начнем с задач первого дня соревнований!
ЗАДАЧА №1
Пусть функция f(n) определена для всех натуральных чисел n, и принимает неотрицательные целые значения. Также для всех m и n справедливо:
f (m+n) - f(m) - f(n) = 0 или 1
f(2) = 0, f(3)>0, и f (9999) = 3333
Требуется найти f(1982).
ЗАДАЧА №2
Дан треугольник с вершинами A1, A2, A3 у которого все стороны разной длины. Обозначим стороны треугольника как a1,a2,a3 (ai - сторона, находящаяся напротив вершины Ai). Для i = 1,2,3 точка Mi делит сторону ai на две равные части. Пусть Ti - точка в которой вписанная в треугольник окружность касается стороны ai. Обозначим через Si точку, получающуюся путем отражения точки Ti относительно биссектрисы угла Ai.
Требуется показать, что линии M1S1, M2S2 и M3S3 пересекаются в одной точке!
(оказывается в интернете есть такой потрясающий сервис - https://www.desmos.com/geometry?lang=ru где можно создавать всевозможные геометрические построения, в том числе в рамках школьной программы!!!. И это только часть возможностей этого сервиса! Для вышеупомянутой задачи был сделан следующий рисунок: https://www.desmos.com/geometry/q2qwdcx75g?lang=ru - и там можно двигать вершины треугольника и смотреть как всё будет меняться!!!. Ниже представлен скриншот данного построения.)
ЗАДАЧА №3
Рассмотрим бесконечную последовательность положительных вещественных чисел X[i], со следующими свойствами:
- X[0] = 1;
- X[i+1] ⩽ X[i], для всех i ⩾ 0.
Требуется показать:
(a) Что для любой последовательности, существует такое число n, что выполняется неравенство:
X[0]^2/X[1] + X[1]^2/X[2] + ... +X[n-1]^2/X[n] ⩾ 3.999;
(б) Найти такую последовательность, для которой вышеприведенная сумма не превышает значение 4 ни при каких значениях n. То есть найти такую последовательность, что для любого n верно:
X[0]^2/X[1] + X[1]^2/X[2] + ... +X[n-1]^2/X[n] < 4.
Теперь задачи второго дня соревнований!
ЗАДАЧА №4
Дано уравнение:
X^3 - 3·X·Y^2 +Y^3 = n, где n - натуральное число.
Требуется:
(а) Показать, что если для данного n уравнение имеет целочисленное решение (X,Y), то уравнение имеет не менее 3-х таких решений.
(б) Показать, что уравнение не имеет целочисленных решений при n = 2891.
ЗАДАЧА №5
Дан правильный шестиугольник ABCDEF. На диагонали AC взята точка M, а на диагонали CE взята точка N, такие, что выполняется равенство:
AM/AC = CN/CE = r, где r - некоторое число.
При этом точки B, M и N лежат на одной прямой.
Требуется найти r.
ЗАДАЧА №6
Дан квадрат S, с длиной стороны равной 100. Пусть L - некоторый путь внутри квадрата, без пересечений и касаний, состоящий из отрезков A0A1, A1A2, ..., An-1An и A0 ≠An. Пусть для любой точки P на границе квадрата существует точка на пути L, такая, что расстояние от неё до точки P не больше 0.5.
Требуется показать, что на пути L существуют две точки X и Y, такие что расстояние между точками X и Y не больше 1, а длина той части пути L, которая лежит между X и Y, не меньше 198.