«Большинство математиков знают один метод. Например, Норберт Винер освоил преобразования Фурье. Некоторые математики владеют двумя методами и могут произвести впечатление на того, кто знает только один из них. Джон фон Нейман овладел тремя методами: 1) возможность символического манипулирования линейными операторами, 2) интуитивное ощущение логической структуры любой новой математической теории; и 3) интуитивное ощущение комбинаторной надстройки новых теорий ». Станислав Улам
Венгрия: рождение математика. Ранние годы (1903–1921)
Нойман Янош Лайош родился 28 декабря 1903 года в Будапеште, столице Венгрии. Он родился в семье богатых еврейских банкиров, поэтому его воспитание можно охарактеризовать как привилегированное. Его отец имел степень доктора права, и он вырос в 18-комнатной квартире на верхнем этаже над офисом Канн-Хеллера на улице Байчи-Жилински 62 в Будапеште.
Янош родился в благополучное время, когда в Австро-Венгерской империи были отменены законы, ограничивающие права евреев. Император Франц Иосиф в 1913 году наградил банкира Макса Неймана наследуемым дворянским титулом за «заслуги в финансовой сфере», таким образом семья стала назваться маргиттаи Нейманами, а по-немецки — фон Нейманами. Янош был старшим из трех братьев, и они все после смерти отца перешли в католичество (как один из них признался — «для удобства»).
Уже в очень раннем возрасте фон Нейман демонстрировал качества, свойственные вундеркиндам, например склонность к языкам и фотографическую память. Едва повзрослев, уже в первые годы учебы в университете, он опубликовал работу по математике, которая вызвала восхищение в академических кругах и стала началом его блестящей международной карьеры.
До 1914 года Янош обучался на дому, как это было принято в Венгрии в то время. С 11 лет он был зачислен в немецкоязычную лютеранскую гимназию в Будапеште. Он будет учиться в средней школе до 1921 года, что совпадает с годами обучения в средней школе трех других «марсиан» Венгрии:
- Лео Сциллард - физик, который открыл цепную ядерную реакцию и в конце 1939 года и написал знаменитое письмо Эйнштейна-Сциларда Франклину Д. Рузвельту, которое привело к созданию Манхэттенского проекта, в результате которого была создана первая атомная бомба.
- Юджин Вигнер - лауреат Нобелевской премии 1963 года по физике, работавший над Манхэттенским проектом.
- Эдвард Теллер - американский физик-теоретик еврейского происхождения, широко известный как «отец водородной бомбы». Он внёс значительный вклад в ядерную и молекулярную физику..
«Четверо выходцев из Будапешта были настолько разными, насколько это возможно людям с похожим прошлым. Они были похожи друг на друга только силой интеллекта и характером своей профессиональной карьеры. Вигнер [...] застенчивый, до боли скромный, тихий. Теллер, после целой жизни успешных споров, эмоциональный экстраверт... Сциллард был страстным, упрямым, увлеченным и впадающим в бешенство. Джонни восторженный эрудит и изысканный интеллектуал..." Норман Макрэ "Джон фон Нейман"
В университете (1921–1926)
В 16 лет, в 1921 г. фон Нейман поступил одновременно в Федеральную высшую техническую школу в Цюрихев (по желанию отца) и в Будапештский университет. В последующие пять лет обучения в университете Янош занимался в таком интенсивном ритме, что выдержать его мог только человек с необыкновенными способностями.
"Наверное, многие удивились бы, узнав, что один из самых ярких математиков XX века закончил химический факультет. Фон Нейман выбрал его не по зову сердца, а как компромисс между интересами отца и собственными желаниями. Еврейская семья в Европе вне зависимости от социальной или экономической ситуации должна была жить на чемоданах, готовой в любой момент к путешествию без обратного билета. Часто евреям в течение одного дня нужно было покинуть родину, бросив все нажитое, поэтому они прекрасно понимали, что главным богатством было не то, что можно положить в чемодан, а то, что находится в голове, — этого уж точно никто не может отнять. Каждый еврей должен был владеть хотя бы одним иностранным языком и иметь профессию, которая позволила бы заработать на жизнь. Конечно, многое зависело и от того, в какую страну пришлось бы переехать" Де Агостини "Фон Нейман. Теория игр"
Юноше нужен был только диплом: он не посетил ни одного занятия в Будапештском университете и приходил только на экзамены, на которых всегда получал самые высокие оценки. Одновременно с этим Янош два года, с 1921 по 1923 год, занимался химической инженерией в Берлинском университете, а последующие два, с 1923 по 1925 год, — изучал химию в Федеральном технологическом институте в Цюрихе, где и получил диплом. Университетское образование Неймана завершилось защитой докторской диссертации по математике (по теории множеств) в Будапештском университете в 1926 году. К 20 годам он сформулировал определение ординальных чисел, которое используется по сей день.
«В Цюрихе был семинар для продвинутых студентов, который я вел и фон Нейман был в классе. Я написал одну теорему и сказал, что она не доказана и достаточно трудна. фон Нейман ничего не сказал, но через пять минут поднял руку. Когда я позвал его, он подошел к доске и записал доказательство. После этого я боялся фон Неймана» Джордж Полиа
Вспоминая впоследствии цюрихский период своей жизни, фон Нейман считал, что особенно много почерпнул у двух математиков: Эрхарда Шмидта и Германа Вейля. Общение молодого фон Неймана даже с математиком такого ранга, как Герман Вейль, происходило скорее «по горизонтали», чем «по вертикали», и было полезно для обеих сторон. Известно, что когда Вейлю понадобилось среди семестра срочно отлучиться, то чтение курса вместо него продолжил фон Нейман.
Молодой доктор отправляется совершенствовать свои знания в Мекку математиков и физиков того времени — Гёттингенский университет, где в то время читали лекции люди, чьи имена стали гордостью науки: К. Рунге, Ф. Клейн, Э. Ландау, Д. Гильберт, Э. Цермело, Г. Вейль, Г. Минковский, Ф. Франк, М. Борн и другие. Приглашенными лекторами были Г. Лоренц, Н. Бор, М. Планк, П. Эренфест, А. Пуанкаре, А. Зоммерфельд...
В его заявлении в Совет по международному образованию, финансируемому Рокфеллером на шестимесячную стипендию для продолжения исследований в Геттингенском университете, в качестве разговорных языков упоминаются венгерский, немецкий, английский, французский и итальянский, а также рекомендательные письма от Ричарда Куранта, Германа Вейля и Дэвида Гильберта, трех выдающихся математиков того времени.
В Геттингене (1926–1930)
1927 год: фон Нейман получил Рокфеллеровскую стипендию для продолжения обучения в Гёттингенском университете. Там он познакомился с Давидом Гильбертом, одним из выдающихся математиков XX века, который оказал огромное влияние на его научную деятельность.
Самые важные исследования, проведенные фон Нейманом в Гёттингене под руководством Гильберта, были посвящены вопросам аксиоматизации. Чтобы лучше понять значение его достижений, нужно понимать, какую роль играли аксиомы на протяжении всей истории математики и какой глубокий кризис в аксиоматике наблюдался в начале XX века. Этот кризис поставил под вопрос сами основания математики. ( это тема для другой статьи)
Теория множеств
В Геттингене Джон фон Нейман написал несколько статей по теории множеств и логике:
Статья «Аксиоматизация теории множеств» 1926 г. Это первая статья, которая описывает то, что позже будет известно как теория множеств фон Неймана-Бернайса-Гёделя (NBG).
В своей основополагающей статье по теории множеств 1928 г. «Аксиоматизация теории множеств», фон Нейман формально излагает свою собственную аксиоматическую систему.
Основной вклад фон Неймана в теорию множеств - это то, что впоследствии стало теорией множеств фон Неймана-Бернайса-Гёделя (NBG), аксиоматической теорией множеств, которая считается консервативным расширением принятой теории множеств Цермело-Френкеля (ZFC).
После критики и дальнейших пересмотров теории множеств Цермело Френкелем, Сколемом, Гильбертом и фон Нейманом молодой математик по имени Курт Гёдель в 1930 году опубликовал статью «Полнота аксиом логического функционального исчисления», которая фактически положила конец усилиям фон Неймана в области аксиоматизации теории множеств, и программе Гильберта в целом. Гёдель принял участие в конгрессе «Эпистемология точных наук», на котором также выступали Рудольф Карнап, Аренд Гейтинг, Джон фон Нейман и Фридрих Вайсман. Гёдель четко заявил о своих сомнениях в выполнимости программы Гильберта и изложил некоторые свои результаты, демонстрирующие неполноту арифметики. Фон Нейман оказался в зале, когда Гёдель впервые представил свои соображения.
«На математической конференции тихий, малоизвестный молодой человек, Курт Гёдель, объявил результат, который навсегда изменит основы математики. .. Джон фон Нейман, присутствовавший в аудитории, сразу понял важность теоремы Гёделя о неполноте. Он был на конференции, представляя программу теории доказательств Гильберта, и признал, что программа Гильберта закончилась....
В следующие несколько недель фон Нейман понял, что арифметизируя доказательство первой теоремы Гёделя, можно показать еще лучше, что никакая формальная система T не может доказать свою собственную непротиворечивость. Через несколько недель он принес свое доказательство Геделю, который поблагодарил его и вежливо сообщил, что уже отправил вторую теорему о неполноте для публикации». "Вычислимость. Тьюринг, Гедель, Церковь и не только" Коупленд
В истории науки значимость теоремы Гёделя может сравниваться только с величайшими интеллектуальными достижениями ХХ века - открытиями в квантовой теории и теорией относительности. Фон Нейман, который был очень близок к возможности получить такой исчерпывающий результат в теории множеств, упустил его. По мнению Станислава Улама, польского математика, переехавшего в Принстон в 1934 году и лично знавшего фон Неймана, эта неудача наложило отпечаток на всю жизнь фон Неймана.
Квантовая механика
Именно в Гёттингене фон Нейман познакомился с идеями зарождавшейся тогда квантовой механики. Проблемы математического обоснования нового раздела физики захватили фон Неймана. В окончательном списке, который сам фон Нейман представил в Национальную академию наук позже в своей жизни, он перечислил свои работы по квантовой механике в Геттингене (1926 г.) и Берлине (1927–29) как «наиболее важные».
Термин квантовая механика, в значительной степени изобретенный двадцатитрехлетним вундеркиндом Геттингена Вернером Гейзенбергом годом ранее, все еще горячо обсуждался, Эрвин Шредингер, тогда работавший из Швейцарии, отверг формулировку Гейзенберга как совершенно неверную.
«В первые недели пребывания Джонни в Геттингене в 1926 году, Гейзенберг здесь читал лекции о разнице между его теориями и теориями Шредингера. Стареющий Гильберт, профессор математики, спросил своего ассистента по физике Лотара Нордхейма, о чем, черт возьми, говорил этот молодой человек Гейзенберг. Гильберт не понял того, что изложил Гейзенберг. Тогда фон Нейман через несколько дней сформулировал изящную аксиоматическую форму, что очень понравилось Гильберту, в математическом изложении Джонни использовалось собственное понятие Гильберта о гильбертовом пространстве.
Его основное понимание, которого не было ни у Гейзенберга, ни у Бора, ни у Шредингера, заключалось в том, что геометрия векторов в гильбертовом пространстве имеет те же формальные свойства, что и структура состояний квантово-механической системы.
Нейман понял, что состояние квантовой системы может быть представлено точкой сложного гильбертова пространства, которое в общем случае может быть бесконечномерным даже для одной частицы. В таком формальном представлении квантовой механики наблюдаемые величины, такие как положение или импульс, представлены как линейные операторы, действующие в гильбертовом пространстве, связанном с квантовой системой » Норман Макрэ "Джон фон Нейман"
Начиная с вышеупомянутого инцидента, в последующие годы фон Нейман опубликовал ряд статей, которые установили строгую математическую основу для квантовой механики, ныне известной как аксиомы Дирака- фон Неймана .
«К тому времени, когда фон Нейман начал свои исследования формальных рамок квантовой механики, эта теория была известна в двух различных математических формулировках: "матричная механика" Гейзенберга, Борна и Джордана и "волновая механика" Шредингера. Шредингер показал полную математическую эквивалентность столь различных на первый взгляд теорий: матричной и волновой механики. Из собственных волновых функций Шредингера можно было построить матрицы Гейзенберга, и наоборот. Затем обе они были включены как частные случаи в общий формализм, часто называемый «теорией преобразований», разработанный Дираком и Жорданом.
Этот формализм, однако, был довольно неуклюжим, и ему мешала его зависимость от плохо определенных математических объектов, знаменитых дельта-функций Дирака и их производных. .... (фон Нейман) вскоре понял, что гораздо более естественные рамки предоставляет абстрактная аксиоматическая теория гильбертовых пространств и их линейных операторов». Леон Ван Хов "Вклад фон Неймана в квантовую теорию"
В период с 1927 по 31 год фон Нейман опубликовал пять очень влиятельных статей, касающихся квантовой механики: «Математические основы квантовой механики» (1927), «Вероятностная теория квантовой механики» (1927), «Термодинамика квантово-механических величин» (1927), «Общая теория собственных значений эрмитовых функциональных операторов» (1930), «Единственность операторов Шредингера» (1931)
Подводя итог, можно сказать, что вклад фон Неймана в квантовую механику в общих чертах состоит из двух частей:
1. Математическая основа квантовой теории, в которой состояния физической системы описываются векторами гильбертова пространства, а измеримые величины (такие как положение, импульс и энергия) - неограниченными эрмитовыми операторами, действующими на них; а также
2. Статистические аспекты квантовой теории. В ходе своей формулировки квантовой механики в терминах векторов и операторов в гильбертовых пространствах фон Нейман также дал основное правило того, как эту теорию следует понимать статистически.
Его работы по квантовой механике в конечном итоге были собраны во влиятельной книге 1932 года «Математические основы квантовой механики», которая считается первой строгой и полной математической формулировкой квантовой механики.
"Квантовой механике действительно посчастливилось привлечь внимание в самые первые годы после ее открытия в 1925 году математического гения уровня фон Неймана. В результате была разработана математическая основа теории, а формальные аспекты ее совершенно новых правил интерпретации были проанализированы одним человеком за два года (1927–1929)." Ван Хоув
На основе этих работ, фон Нейман начал другой цикл – по теории операторов, благодаря которым он считается основоположником современного функционального анализа, одного из наиболее бурно развивающихся, магистральных направлений математики.
Теория игр - знаменитая Теорема о минимаксе
Фон Нейман создал условия для возникновения нового раздела прикладной математики - теории игр. С ее возникновением стало возможным использовать рациональные стратегии для осознанного выигрыша в игре с рациональным противником, не полагаясь на дело случая.
Статья фон Неймана «К теории стратегических игр», опубликованная в 1928 г. стала классической, так как содержала доказательство знаменитой Теоремы о минимаксе, ставшей краеугольным камнем теории игр.
В этой статье фон Нейман приводит тщательный анализ игры в... покер. Известно, что фон Нейман очень любил эту игру, хотя не всегда выигрывал. По его мнению, самым интересным аспектом покера был блеф, который делал выбор стратегии еще более сложным. Поэтому в покере гораздо труднее формализовать оптимальную стратегию в сравнении с другими играми с нулевой суммой, например шахматами. Тем не менее, фон Нейман сделал плодотворную попытку.
Что утверждает знаменитая Теорема фон Неймана (простыми словамми)?
Предположим, что двое играют в покер, по правилам которой, выигрыш одного игрока равен проигрышу другого (игра с нулевой суммой), и каждый из игроков волен выбирать из конечного числа стратегий. Выбирая стратегию, игроки при оценке своих шансов на выигрыш (проигрыш) исходят из лестного для противника предположения о том, что тот всегда отвечает наивыгоднейшим для себя ходом. Следовательно, игрок понимает, что он с большей вероятностью проиграет, чем выиграет. Поэтому, не желая рисковать, игрок останавливает свой выбор на оптимальной стратегии, при которой он имеет больше шансов победить с минимальным выигрышем, чем рискованную стратегию, при которой он получит максимальный выигрыш, но с минимальной вероятностью победы.
Доказанная фон Нейманом теорема утверждает, что для любой конечной игры (двух игроков) с нулевой суммой существует «устойчивая» пара стратегий, для которых один проиграет, но с минимальным выигрышем, а другой игрок, при этом получит максимальный выигрыш, не прибегая к рискованной стратегии. Устойчивость стратегий означает, что отклонение от оптимальной стратегии ухудшает шансы каждого из игроков и, следовательно, такая игра теряет черты рациональности.
В США
Джон фон Нейман впервые приехал в США в октябре 1929 года, будучи приват-доцентом в Гамбургском университете. Фон Неймана пригласили читать лекции по квантовой теории в Принстонском университете. В итоге, Фон Неймана стал приглашенным профессором в этом университете в 1930–1933 годах.
В 1933 году в Герамании к власти пришел Адольф Гитлер. Это вынудило фон Неймана полностью отказаться от работы в Европе. Фон Нейман заявил: «Если эти мальчики проработают еще два года, они разрушат немецкую науку на целое поколение - по крайней мере»
В 1934 году, когда нацистский министр образования спросил и Давида Гильберта: «Как обстоят дела с математикой в Геттингене, теперь, когда она свободна от еврейского влияния?» Гильберт ответил: «В Геттингене больше нет математики».
В Институте перспективных исследований
После его трехлетнего пребывания в качестве приглашенного профессора в Принстоне, в 1933 году фон Нейману предложили пожизненную профессуру на факультете Института перспективных исследований (IAS) . Ему было 30 лет. В только что основанном Институте, фон Нейман стал одним из первых шести профессоров IAS, другими были Дж. В. Александер, Альберт Эйнштейн, Марстон Морс, Освальд Веблен и, наконец, Герман Вейль.
Институт был основан в 1930 году Луисом Бамбергером и его сестрой Каролиной Бамбергер Фульд, которые пожертвовали 5 миллионов долларов. Новый институт взял на работу многих учёных, бежавших из Европы от угрозы нацизма. Именно там работали после эмиграции в США такие знаменитые учёные, как Альберт Эйнштейн, Джон фон Нейман и Курт Гёдель. Википедия
«Первоклассное исследовательское учреждение без учителей, студентов, без классов, но только с исследователями, защищенными от превратностей и давления внешнего мира». - Сильвия Насар
Несмотря на близость месторасположения Принстона, Институт с момента основания не имел и не имеет формальных связей ни с Принстонским университетом, ни с каким-либо другим учебным заведением.
Всего за несколько лет после своего основания IAS унаследовал трон Геттингенского университета как передового центра математической вселенной.
В первые годы Джон фон Нейман еще ездит в Европу, но всё реже в Венгрию, где адмирал Хорти – первым в ХХ веке – открыто провозглашает антисемитизм своей официальной политикой.
В 1936 году в Принстон приехал на два года, заниматься математической логикой, Алан Тьюринг. Здесь он опубликовал свою знаменитую работу об универсальных вычислительных машинах. Машины Тьюринга реально не осуществимы, но они показывают принципиальную возможность решения любых задач с помощью элементарных арифметических действий.
Идея Тьюринга захватила фон Неймана. Он предложил Тьюрингу место ассистента для совместной работы. Тьюринг отказался, вернулся в Англию, где в годы войны стал искусным дешифровальщиком немецких сообщений.
В 1937 году фон Нейман стал гражданином США. В 1938 он был награждён премией имени М. Бохера, присуждаемой раз в пять лет за наиболее значительные результаты в области анализа.
Манхэттенский проект (1937–45)
Основной вклад фон Неймана в создание атомной бомбы заключался в создании концепции и конструкции взрывных линз, которые были необходимы для сжатия плутониевого ядра атомной бомбы Толстяк. которая позже была сброшена на Нагасаки.
Участник Манхэттенского проекта в Лос-Аламосе, штат Нью-Мексико, фон Нейман в 1944 году показал, что увеличение давления в результате отражения ударной волны взрыва от твердых объектов было гораздо большим, чем предполагалось ранее, в зависимости от угла ее падения. Это открытие привело к решению взорвать атомные бомбы в нескольких километрах над целью. Фон Нейман присутствовал при первом испытании «Тринити» 16 июля 1945 года в пустыне Невада во время первого успешного испытания атомной бомбы.
Джон фон Нейман и компьютеры
Джон фон Нейман в 1946 г заложил основы учения об архитектуре вычислительных машин, когда подключился к созданию первого в мире лампового компьютера ЭНИАК. В процессе работы над ЭНИАКом в Институте Мура в Пенсильванском Университете во время многочисленных дискуссий фон Неймана с его коллегами Джоном Уильямом Мокли, Джоном Эккертом, Германом Голдстайном и Артуром Бёрксом возникла идея более совершенной машины под названием EDVAC. Исследовательская работа над EDVAC продолжалась параллельно с конструированием ЭНИАКа. (об этом в отдельной статье)
Личность
Несмотря на свои многочисленные назначения, обязанности и обширные исследовательские работы, фон Нейман вел довольно необычный для математика образ жизни.
«Вечеринки и ночная жизнь были особой привлекательностью для фон Неймана. Во время преподавания в Германии фон Нейман был участником ночной жизни Берлина эпохи кабаре ». Воннеуман
Его первая жена Клара говорила, что он умеет считать все, кроме калорий.
Фон Нейман также любил идиш и грязные шутки. Он был некурящим, но в IAS поступали жалобы на то, что он регулярно проигрывал на граммофоне в своем офисе чрезвычайно громкую немецкую маршевую музыку, отвлекая внимание коллег, в том числе Альберта Эйнштейна. Фактически, фон Нейман утверждал, что делал одни из своих лучших работ в шумной, хаотичной обстановке, например, в гостиной своего дома с включенным телевизором. Несмотря на то, что он был плохим водителем, он любил водить машину, часто читая книги за рулем, что приводило к различным арестам и авариям.
Летом 1954 года фон Нейман ушиб левое плечо при падении. Боль не проходила, и хирурги поставили диагноз: костная форма рака. Предполагалось, что рак фон Неймана мог быть вызван радиоактивным облучением при испытании атомной бомбы в Тихом океане или, может быть, при последующей работе в Лос-Аламосе, штат Нью-Мексико (его коллега, пионер ядерных исследований Энрико Ферми, умер от рака желудка на 54-м году жизни). Через несколько месяцев после постановки диагноза фон Нейман умер в тяжёлых мучениях. Когда он лежал при смерти в госпитале Вальтера Рида, он попросил встречи с католическим священником.
Фон Нейман похоронен на Принстонском кладбище в Принстоне, штат Нью-Джерси, вместе со своими друзьями на всю жизнь Юджином Вигнером и Куртом Гёделем .
Спасибо за внимание!
Все фото взяты с Яндекса в свободном доступе