Будущий актёр появился на свет в Курске в семье инженеров. С детства мальчик увлекался спортом — играл в футбол и теннис, занимался лёгкой атлетикой. Вторым серьёзным увлечением парня была музыка: он брал уроки вокала, играл на скрипке и фортепиано, в школьные годы был участником ансамбля. Родители хотели, чтобы сын по семейной традиции стал инженером, однако случай изменил все планы...
Однажды 16-летний Игорь вместе с классом поехал на экскурсию в Москву. В столичной подземке его заметил ассистент режиссёра и пригласил на роль в фильме «Юнга Северного флота». После выхода картины на экраны в родном городе Игорь стал настоящей звездой. С тех пор он твёрдо решил, что хочет связать жизнь со сценой и кино.
Попытка поступить в столичные театральные вузы оказалось провальной. Однако юный Скляр не сдавался: уехал в Ленинград и подал документы в ЛГИТМИК, куда его вскоре приняли. На первых курсах новоиспечённый студент учился не слишком прилежно, зато уже ближе к выпуску подтянулся по всем предметам и в результате окончил институт с красным дипломом.
После выпуска Скляра отправили по распределению в Томский ТЮЗ, а спустя год начинающий актёр ушёл в армию. Отслужив срок, Игорь был принят в труппу Ленинградского драматического театра, на сцену которого впоследствии выходил почти двадцать лет. Вскоре Скляр получил и первые заметные роли в кино. На экраны вышли популярные ленты с его участием — «Только в мюзик-холле», «Берегите женщин», «Анна Павлова».
Однако самая главная роль ждала Игоря впереди. В 1983 году режиссёр Карен Шахназаров приступил к съёмкам музыкальной комедии «Мы из джаза». На роль джазмена-пианиста Кости Иванова планировали утвердить молодого Дмитрия Харатьяна, однако режиссёр остановил выбор на кандидатуре Игоря Скляра и не прогадал. Картина имела оглушительный успех, а за исполнителем главной роли надолго закрепилось звание секс-символа отечественного кино.
В то же время композитор Игорь Николаев написал знаменитую песню «На недельку до второго я уеду в Комарово...» и доверил её исполнение находившемуся на пике популярности Игорю Скляру. Мелодия впервые прозвучала в картине «Начни сначала», а затем в мультфильме «Ну, погоди!» и стала настоящим хитом.
Карьера Игоря Скляра шла в гору. Один за одним на экраны выходили фильмы с его участием — «Батальоны просят огня», «Путешествие мсье Перришона», «Узник замка Иф», «Имитатор», «Тартюф», «Год собаки», «Дети понедельника». Чаще всего ему предлагали однотипные роли обаятельных красавцев и со временем Скляр начал отказываться от подобных предложений — надоело быть заложником одного образа.
Актёра всегда окружали толпы поклонниц, но на протяжении уже многих лет он счастлив в браке с супругой Натальей Акимовой. Они познакомились ещё в студенческие годы, а вот взаимные чувства вспыхнули уже позже — в весьма необычной обстановке. Дело в том, что Наталья Акимова была замужем за другим известным актёром Андреем Краско. Игорь Скляр был общим другом семьи, и когда ему было негде жить, супруги пригласили его в свою квартиру. В домашней обстановке между Игорем и Натальей закрутился роман, а вскоре они сообщили об этом и самому Андрею Краско. Актёр тяжело переживал предательство друга и жены и даже на время попал в клинику неврозов.
В браке у Натальи Акимовой и Игоря Скляра родился сын Василий. Молодой человек долго искал своё место в жизни: сначала учился на филолога, затем окончил театральный вуз, а в итоге поступил в духовную семинарию и сегодня работает чтецом в Софийском соборе. В семейной жизни Игоря Скляра и его жены было немало испытаний. Сам актёр признавался, что позволял себе измены на фоне пристрастия к алкоголю, однако Наталья всё прощала. Последний громкий скандал с участием Игоря Скляра обсуждали в начале 2000-х, когда его застали в объятиях актрисы и певицы Оксаны Сташенко, хотя роман они оба отрицали.
В то же время Игорь Скляр перенёс инфаркт, который во многом перевернул его жизнь. Актёр полностью отказался от вредных привычек и стал больше ценить семью, домашний уют и любимую работу. Сегодня Скляр по-прежнему снимается в кино. Среди последних картин с его участием — криминальная мелодрама «Своя земля» и исторический сериал «Екатерина».