Рассчитала Сусанна Казарян — эксперт Кью, физик. Еще больше интересных ответов — на Кью!
Попробуем посчитать, но с незначительным изменением в вопросе. Инвариантом выберем не время, а расстояние, что более близко к жизненной ситуации (от остановки до подъезда).
Начнем с обозначений свободных параметров: Пусть V — скорость капель дождя, v — скорость человека под дождем, h, w и S — рост, ширина и максимальная площадь горизонтального сечения (здесь эллипсоид) человека соответственно. В помощь нам 3 рисунка ниже: вид сбоку, сзади и сверху (зонтик мысленно уберите).
Количество капель дождя на неподвижного человека в единицу времени пропорционально площади его горизонтального сечения (S). При движении человека (v > 0) площадь сбора капель дождя дополняется проекцией вертикального сечения человека на горизонтальную плоскость, зависящей от скорости движения: ΔS = w⋅h⋅sin(α), где α=arctg(v/V). Тогда, интенсивность намокания (ℑ) человека в случае движения под вертикальным дождем без зонта будет ℑ = ℑ₀⋅(S + ΔS), где ℑ₀ — постоянная. Если же дождь идет под наклоном θ к вертикали (дождь с ветром), то ΔS = w⋅h⋅sin(α ± θ), где знак плюс соответствует движению против ветра, а знак минус — в направлении ветра.
Пусть мы проходим под дождём расстояние d, в одном случае со скоростью v₁, и то же расстояние во втором случае — со скоростью v₂. В каком случае мы больше намокнем? Рассмотрим отношение дождевой воды на нашей одежде для этих двух случаев: δ ≡ ℑ₁/ℑ₂ =[(S + ΔS₁)⋅t₁] / [(S + ΔS₂)⋅t₂], где t₁,₂ = d/v₁,₂ — время для преодоления расстояния d для каждого случая. Подставив значения ΔS₁,₂ для малых углов (sin(α) ≈ tg(α) при α<30°) и θ = 0, получим: δ ≈ (v₂ + β)/(v₁ + β), где постоянная β = (v₁v₂/V)⋅(wh/S). При v₁ < v₂ , получим δ > 1 или медленный пешеход намокнет больше в δ раз.
Ответ: Чем меньше наша скорость, тем более мокрыми мы будем в конце пути.
Численный пример: V = 10 м/с; v₁ = 1,5 м/с (пешком); v₂ = 4,5 м/с (бегом); wh/S ≈ 2,3; β ≈ 1,6 м/с ⟾ δ ≈ 2, или пешеход намокнет в 2 раза больше, чем бегущий, вне зависимости от расстояния.
Таким образом, или нужно уметь быстро бегать, или не забывайте захватить зонт перед дождём.