Параметры в ЕГЭ (теперь 17 задача) по праву считаются одной из самых сложных задач второй части и стоят целых 4 первичных балла. Почему так? Я бы выделил несколько причин:
1) Знания. Задача требует знания самых разных базовых математических фактов: нужно уметь решать уравнения и неравенства и системы с ними – с модулями, корнями, тригонометрией, логарифмами. Нужно уметь исследовать функции и строить графики: обязательно понимать, что такое Область Допустимых Значений.
2) Разнообразие. Попасться может как будто все, что угодно, и даже если вы ориентируетесь в теме, часто непонятно, как подступиться к решению задачи, потому что условие выглядит незнакомым.
3) Количество тонких моментов. Если все же вы смогли подступиться к решению, и даже подобрались к ответу, это еще не конец. Вам обязательно нужно проверить, не допустили ли вы ошибки в тонне вычислений, и не упустили ли вы «особые случаи». Невнимательность может лишить вас и всех 4 баллов. А учитывая, что задачу вы начали решать минимум через два часа после начала экзамена, вероятность упустить какую-то мелочь сильно возрастает.
Как с этим справляться?
Я начну со второго пункта. Про первый напишу после. Я предлагаю не просто бороться с разнообразием, а разоблачить его. Я считаю, что вот уже последние 7 лет на ЕГЭ несмотря на внешнее различие параметры на самом деле не отличаются друг друга, потому что каждый из них решается по одинаковому алгоритму. Чтобы решить задачу, вы должны знать этот алгоритм и должны быть готовы его применить в любом случае.
Я разберу этот алгоритм на примере задачи из последнего ЕГЭ, но вы можете подставить на ее место любую другую. Но важно понимать: речь идет о РЕАЛЬНОМ ЕГЭ основной волны. Их можно найти на сайте «Решу ЕГЭ» и отличаются они тем, что в источнике указано: ЕГЭ, дата, основная волна. Итак, что попалось школьникам в июне 2021 года:
I. Решаем уравнение, не обращая внимание на параметр «а». Считаем, что «а» известно.
Важно понимать, что «а» - это не какая-то третья переменная после Х и Y, это просто число, которое может меняться. Корни уравнения будут зависеть от параметра, да, но на их поиск он не повлияет. Поэтому спокойно решаем.
Решить уравнение достаточно легко, хотя бы из-за линейности! Да, есть модуль, но, чтобы с ним разобраться, достаточно знать определение. Просто раскройте модуль. Конечно, в зависимости от того, какой Х. Ниже я перечислю случаи раскрытия модулей в этой задаче и для удобства отмечу их на координатной прямой.
|x+1| раскрывается положительно при х≥-1 и отрицательно при х≤-1:
Синим я обозначил знаки первого модуля, красным – второго. И получил, что в зависимости от X есть всего три случая. Рассмотрим их по порядку. Числа 1 и -1 я решил включить во второй случай.
А) х < -1:
Б) -1≤ х ≤ 1
Тут уже возникает трудность, связанная с тем, что мы делим на (2а-1) - выражение, на которое решили не обращать внимание. Но оно может быть равно нулю, что тогда делать, ведь на нуль делить нельзя? Пока я предлагаю просто отметить это место галочкой как особый случай, и просто продолжить выполнение пункта 1.
В) х > 1
Всё! На этом первый пункт заканчивается. Я решил это уравнение, не обращая внимания на непонятный параметр. И смело могу переходить ко второму пункту.
II. Для каждого найденного корня выписываем все ограничения.
В нашем случае они возникли сами собой, когда мы раскрывали модуль. Других ограничений здесь нет, так как у модуля нет проблем с ОДЗ. И попутно при решении уравнений они не появлялись (как например, могут появиться при решении иррациональных уравнений):
III. Подставляем каждый Х в его ограничения и решаем их относительно неизвестной «а».
Так мы сможем понять, при каких «а» конкретный корень существует и наоборот.
Для первого и третьего случая все просто:
Со вторым разберемся отдельно:
Бывает, что корень не зависит от «а». Тогда, если он существует при всех ограничениях, это происходит при любых «а». Если не существует, то не при каких «а».
IV. Рассматриваем особые случаи совпадения корней.
В задаче нас волнует, при каких «а» сколько корней существует. Бывает, что при определенных значениях «а» корни совпадают, что, конечно, влияет на их количество, и что нужно учитывать.
У нас три корня. Проверим, когда совпадают каждый с каждым.
Первый и второй:
В случае первого и третьего корня совпадений нет.
И последнее, второй и третий:
Итого у нас совпадают два корня из трех при a = 1; -1; 0; 2. Запоминаем эти значения и движемся дальше.
V. Рассматриваем другие особые случаи.
Здесь мы рассмотрим особые моменты, которые вызвали у нас при решении вопросы, и которые нужно проверить. Зависит от задачи, что именно будет в этом пункте: часто он вообще не нужен, но в нашем случае речь будет идти о делении на (2a-1), которое мы успешно совершили, не обращая внимания на то, что это выражение может быть равно нулю. А что будет, если это так на самом деле?
Вдруг при этом значении есть решения? Найдем их и, главное, определим их количество. Я не буду подставлять в исходное условие, а использую раскрытые случаи, просто во втором из них не буду делить на (2a-1).
Получается, при a = ½ решений нет вообще. Запоминаем это и идем дальше.
VI. На числовой прямой отмечаем, сколько решений есть при разных значениях «а».
Сначала отмечаем, при каких «а» существуют найденные корни, фиксируем их количество, затем отмечаем особые точки и обязательно пишем, где происходит совпадение корней.
Получаем, что 2 корня существуют при a < -1 и а > 2.Граничные значения я исключил из-за совпадения корней. Это и есть ответ, и он правильный, и за него мне должны дать 4 балла.
Вывод
Напоследок я еще раз перечислю пункты алгоритма, который решает любой параметр из реального ЕГЭ:
1) Решаем уравнение, не обращая внимание на параметр «а». Считаем, что «а» известно.
2) Для каждого найденного корня выписываем все ограничения.
3) Подставляем каждый Х в его ограничения и решаем их относительно неизвестной «а».
4) Рассматриваем особые случаи совпадения корней.
5) Рассматриваем другие особые случаи.
6) На числовой прямой отмечаем, сколько решений есть при разных значениях «а». И получаем ответ.
Естественно, этот алгоритм не спасет вас за несколько дней до ЕГЭ. Более того, даже выучив его наизусть, вы не научитесь тут же решать параметры. Скорее всего, возникнут локальные проблемы – чаще всего связанные с 1 пунктом о сложности (см. начало статьи) – с нехваткой знаний. Может случиться такое, что от алгоритма придется отклониться, например, иногда вместо поиска корней квадратного уравнения достаточно найти дискриминант и так определить их количество. Часто вообще лучше использовать графический метод. Поэтому готовиться нужно сильно заранее, и решать очень-очень много – минимум 50 номеров нужно разобрать, а лучше и 100. При этом не просто знать, но ПОНИМАТЬ большинство тем из школьной математики.
Но алгоритм очень поможет вам при подготовке. Как минимум вы сможете с чего-то начать. И дальше на него вы будете нанизывать остальные детали – алгоритм структурирует ваши знания вокруг отдельной задачи, и тогда у вас будет видение общей картины, которого так не хватает при решении параметров. На занятиях по параметрам я начинаю именно с алгоритма – объясняю его ученикам на нескольких примерах, а после они на других примерах учатся его применять. Решая большое количество задач, мы постоянно к нему возвращаемся, и алгоритм обрастает новыми подробностями. На выходе ученики имеют объемное представление о параметрах в ЕГЭ.
А на самом экзамене, независимо от того, что им попадется, они заранее знают, с чего начнут решение задачи, и не боятся её делать. Чего и вам я хочу пожелать, и крайне рекомендую начать подготовку как можно раньше. Времени пока еще достаточно, но уже не так много. Попробуйте взять алгоритм из этой статьи, и применить его к любой задаче из реального ЕГЭ. Уверен, что у многих из вас получится. Удачи!