Доброго времени суток, дорогие любители математики! Предлагаю Вам сегодня еще раз разобраться, как решать квадратные уравнения. Думаю, для многих читателей данный вопрос покажется простым, но сможете ли Вы навскидку назвать семь способов? А их, конечно, больше! Думаю, другие способы вспомните в комментариях.
Дополнение. Данная статья развлекательная, если вы сейчас пытаетесь разобраться с квадратными уравнениями, то потратьте время на небольшой практикум с примерами и задачами для самостоятельного решения.
Кстати, о комментариях! Там я часто вижу вопрос: «Почему Вы игнорируете формулы Виета?». Мне кажется, что на широкую аудиторию стоит транслировать наиболее простой способ — решение через дискриминант. Он понятный, его все помнят, а значит смогут разобраться в решении [и дочитают статью ;)].
Всем известно, что квадратное уравнение имеет вид:
Коэффициенты a, b и c здесь — это некоторые числа, а x — неизвестная. Для решения квадратного уравнения придумали общие формулы, понятные и простые.
Способ первый. Дискриминант.
Для решения квадратного уравнения через дискриминант его нужно вычислить:
А затем найти корни:
Все супер просто! Берем числа, получаем результат.
Пример:
Способ первый с половиной. Дискриминант, деленный на четыре.
Существует еще одна формула — для случая, когда второй коэффициент четный. Выведем ее:
Как видите, для четного коэффициента двойка будет всегда сокращаться, поэтому говорят о дискриминанте, деленном на четыре:
А корни будут находиться по такой формуле:
Проверим на нашем примере:
Корни сошлись, работает!
Способ второй. Выделение полного квадрата.
Формулы для дискриминанта очень занятные, но откуда они взялись?
Вернемся к началу:
Поделим все уравнение на a:
А дальше начнем шаманить. Мы хотим собрать полный квадрат по формуле сокращенного умножения:
В нашем уравнении на первом месте стоит x². На втором должно находиться удвоенное произведение. Создадим двойку искусственно, умножив и поделив на нее одномоментно:
Теперь у нас есть произведение двойки, x и некоторого числа. Для того чтобы получить формулу квадрата суммы прибавим это "некоторое число" в квадрате и сразу вычтем, дабы сумма не изменилась:
Все готово для формулы сокращенного умножения:
Перенесем все числа в правую часть:
Приведем к общему знаменателю:
Извлечем корень [считаем, что мы можем это сделать]:
Выразим икс и посмотрим, что же у нас получилось:
Да это же и есть формула из предыдущего способа!
Рассмотрим на примере:
Нам повезло и здесь двойка уже есть в наличии. Выделим полный квадрат:
Соберем полный квадрат:
Согласитесь, в числах выглядит гораздо проще и приятнее! Двигаемся дальше.
Способ третий. Разложение на множители.
Тут даже не буду пытаться сделать общие выкладки. Просто берем и раскладываем, как учили в восьмом классе.
Добавим «лишний» икс, получится:
Из первых двух слагаемых вынесем икс, из оставшихся — минус:
Вынесем за скобки общий множитель:
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
Просто и надежно!
Способ четвертый. Формулы Виета.
Мы можем разложить квадратное уравнение на множители (как в прошлом способе). Получим такую картину:
Раскроем скобки:
Получили соответствие коэффициентам исходного уравнения:
Или, в привычном виде:
Удобнее всего пользоваться этими формулами, когда a = 1.
Приведем пример:
Здесь все еще можно воспользоваться дискриминантом, но вычисления будут некрасивые. Поэтому запишем формулы Виета:
Осталось подобрать корни. Для этого разложим 98 на множители:
Если первый способ разложения ничего не дает [ 2 + 49 = 51 ≠ 21]. То второй вариант дает нам корни:
Нахождение корней уравнения по формулам Виета — это простой и быстрый способ, всем рекомендую!
Способ пятый. Метод переброски.
Данный способ — эффективная модификация предыдущего способа для случая, когда a ≠ 1. Возьмем квадратное уравнение в общем виде:
И умножим все на a:
Введем замену:
Получим новое квадратное уравнение:
Таким образом мы как бы перебросили a к c. Теперь корни легко найдутся по формулам Виета. А для того, чтобы найти корни исходного уравнения, поделим найденные корни на a:
Приведем пример:
Произведем переброску:
О, а эти корни мы уже знаем:
Найдем иксы:
На мой взгляд, неплохо. Для участников олимпиад — обязательно к изучению.
Способ шестой. По свойствам коэффициентов.
Здесь все просто. Нужно запомнить, если:
То корни будут:
При этом второй корень мы нашли по формулам Виета.
И второе важное свойство, если:
То корни:
Список свойств не исчерпывающий, но другие свойства сильно сложнее, поэтому не будем их приводить.
В этот раздел также можно отнести старый добрый подбор корней.
Пример:
Здесь уже никакими дискриминантам и перебросками не поможешь. Но если заметить, что:
То сразу запишем:
Способ седьмой. Графический.
Есть два возможных варианта решения и оба имеют не очень хорошую точность. Во-первых, можно представить квадратное уравнение в виде:
И изобразить на координатной плоскости два графика: параболу и прямую.
Приведем пример:
Изобразим графики:
Получаем корни:
Конечно, график построенный автоматически позволяет достаточно точно углядеть корни. Но если у вас под рукой компьютер, то легче будет воспользоваться калькулятором и посчитать их. А вот изобразив график на бумаге определить корни будет сложно.
Разберем еще один графический вариант решения. На этот раз с помощью окружности.
Возьмем на оси абсцисс точки B ( x₁ ; 0 ) и C ( x₂ ; 0 ).
Посередине, между этими точками, будет находиться точка F, с координатами:
По формулам Виета:
На оси ординат возьмем точки A ( 0 ; 1 ) и D ( 0 ; c / a ). Посередине между ними будет находиться точка:
Точка S будет центром окружности:
Пусть O начало координат. Тогда OB · OC=OA · OD :
Таким образом для x₁ и x₂ выполняются формулы Виета.
Приведем пример:
Центр окружности будет иметь координаты:
Проведем окружность через точку A ( 0 ; 1 ) :
Получаем точки B ( 2 ; 0 ) и C ( 3 ; 0 ). А значит:
Как видите — способ рабочий, но опять же требует точности, которую на бумаге получить достаточно трудно.
Существует еще способ решения с помощью номограммы. Про него говорят "незаслуженно забытый". Но на мой взгляд он забыт абсолютно заслуженно, так как преимуществ у него особых нет, а понять его сложнее, чем решение через дискриминант.
На практике я чаще всего использую формулы Виета и дискриминант. А какими способами пользуетесь Вы?
Спасибо за внимание и удачи!
Если вам понравилась статья, то ставьте лайк и подписывайтесь на канал. Математики будет много!