Добрый день! Рада вас приветствовать на моём канале! Сегодня я продолжу тему "Решение задач по "Теории вероятности"", но возьму задачи повышенного уровня , т.е. при решении которых используются свойства и теоремы о вероятностных событиях. Это задание №10 в ЕГЭ по профильной математике.
1. Начнём с теоретической части. В задании №2 используется основная формула вероятности случайного события. Но она может пригодиться и в задании №10. Вот как она выглядит:
Проще говоря, если все исходы какого-либо эксперимента равновозможны, то вероятность события в этом эксперименте равна отношению числа благоприятных для него исходов к числу всех равновозможных., то есть m - число благоприятных исходов, n - число всех равновозможных исходов. P(a)<=1.
Благоприятные исходы - исходы, при которых происходит некоторое событие.
2.
Какие события называются независимыми?
Рассмотрим пример:
Пусть в одной коробке находится 10 деталей, из которых 3 бракованные, а в другой - 16 деталей, из которых 4 бракованные. Из каждой коробки вынимают по одной детали. Какова вероятность того, что обе детали окажутся бракованными?
Решение:
Пусть событие А - из первой коробки вынимают бракованную деталь;
Событие В - из второй коробки вынимают бракованную деталь.
Очевидно,что события А и В являются независимыми.
Вероятность того, что достанут бракованную деталь из первой коробки равна: P(A)=3/10, а из второй - P(B)=4/16.
По условию задачи нам нужно найти вероятность совместного наступления событий A и B, применяя теорему P(AB)=P(A)*P(B), получим
P(AB)=3/10*4/16=3*4/10*16=3/40=0,075.
Ответ: вероятность того, что обе детали окажутся бракованными равна 0,075.
3. Как различить совместные события от несовместных?
Совместные события – это те, которые могут происходить одновременно. Например,
1) Событие А – сегодня вечером будет дождь;
Событие В - сегодня вечером будет гроза;
Событие С - сегодня вечером будет солнце;
События А и В совместны, А и С совместны (попарно совместны) и также все три события могут наступить одновременно.
2) Событие А – из колоды карт будет извлечена карта – король;
Событие А – из колоды карт будет извлечена карта червовой масти.
Данные события совместны, т.к. можно извлечь карту – червовый король.
Мы можем сказать, что извлечена карта король и карта червовой масти.
Несовместные события – это те, которые не могут происходить одновременно. Например,
1) При бросании кубика:
Событие А – выпадет «4» очка;
Событие В – выпадет число очков, отличное от 4.
Мы можем сказать: выпадет либо 4 очка, либо не 4.
2) Противоположные события.
Событие А – из корзины достали белые грибы;
Событие В - из корзины достали грибы вешенки.
3) Событие А – день;
Событие В – ночь.
4) Попадания и промахи.
5) При бросании монеты- выпадение орла или решки и т.д.
4. Противоположные события связаны между собой:
5. Ну и еще одна важная теорема - "Теорема сложения вероятностей совместных событий", пожалуй самая трудная:
Рассмотрим пример:
Пусть событие А - кофе закончится в первом автомате,
В - кофе закончится во втором автомате.
Тогда A·B = кофе закончится в обоих автоматах,
A + B = кофе закончится хотя бы в одном автомате.
По условию P(A) = P(B) = 0,25; P(A·B) = 0,15.
События A и B совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения:
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,25 + 0,25 − 0,15 = 0,35 - вероятность события "кофе закончится хотя бы в одном автомате".
Осталось найти вероятность события "кофе останется в обоих автоматах".
События "кофе закончится хотя бы в одном автомате" и "кофе останется в обоих автоматах" противоположны, поэтому искомая вероятность равна 1 − 0,35 = 0,65.
Ответ: 0,65.
6. Решаем задачи
Задача №1.
А. выиграет оба раза означает, что он должен выиграть "и" в первый раз "и" во второй раз. Данные события независимы друг от друга, поэтому вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей: 0,52 · 0,3 = 0,156.
Ответ: 0,156.
Задача №2.
Найдем вероятность того, что перегорят обе лампы. Так как события независимые, то P(a)= 0,3·0,3 = 0,09.
Событие, состоящее в том, что не перегорит хотя бы одна лампа, противоположное. Следовательно, его вероятность равна 1 − 0,09 = 0,91.
Ответ: 0,91.
Задача №3.
1) Приведу одно из решений. Вероятность уцелеть после искомых выстрелов равна 1 - 0,98 = 0,02.
Будем последовательно находить вероятности после некоторого числа промахов, пока не получим число меньшее 0,02.
Найдём вероятность уцелеть после первого промаха: Р(1) = 0,6;
Р(2) = Р(1)·0,4 = 0,24 - вероятность уцелеть после первого и второго промаха.
Р(3) = Р(2)·0,4 = 0,096.
Р(4) = Р(3)·0,4 = 0,0384;
Р(5) = Р(4)·0,4 = 0,01536.
Последняя вероятность меньше 0,02, поэтому достаточно пяти выстрелов по мишени.
Ответ: 5.
Задача №4.
Запишем возможные комбинации, так чтобы в сумме было не меньше 4 очков в двух играх: 3+1, 1+3, 3+3. Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме их вероятностей и кроме того, в каждом из этих событий - независимые события (произведение двух событий):
P = P(3+1)+P(1+3)+P(3+3)=P(3)*P(1)+P(1)*P(3)+P(3)*P(3)
Вероятность ничьи: P(1)=1-0,4-0,4=0,2.
P = 0,4*0,2+0,2*0,4+0,4*0,4 = 0,32.
Ответ: 0,32.
Задача №5.
1. Вероятность того, что Джон возьмёт пристрелянный револьвер равна 4/10=0,4.
Аналогично находим вероятность непристрелянного револьвера: 6/10=0,6.
2. Джон попадает в муху с P=0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Значит вероятность того, что он попадает в муху из пристрелянного револьвера равна 0,4·0,9 = 0,36, а из непристрелянного - 0,6·0,2 = 0,12.
3. Ковбой попадает в муху из пристрелянного или из непристрелянного револьвера (события несовместны), поэтому по теореме сложения вероятностей имеем: 0,36 + 0,12 = 0,48.
4. Событие, состоящее в том, что Джон промахнется, противоположное. Его вероятность равна 1 − 0,48 = 0,52.
Ответ: 0,52.
Задача №6
1)Вероятность того, что стекло сделано на первой фабрике и оно бракованное: 0,45 · 0,03 = 0,0135.
2)Вероятность того, что стекло сделано на второй фабрике и оно бракованное: 0,55 · 0,01 = 0,0055.
3)По условию задачи купленное стекло может оказаться либо выпущенное первой фабрикой, либо второй. Поэтому вероятность, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным равна 0,0135 + 0,0055 = 0,019.
Ответ: 0,019.
Задача №7
1.
Вероятность выбора пути на каждой из 4х развилок, ведущего к выходу D или к другому выходу равна 0,5. Эти события независимы, поэтому вероятность, что паук придёт к выходу D равна 0,5*0,5*0,5*0,5=0,0625.
Ответ: 0,0625.
Задача №8
Указанные события противоположны, поэтому искомая вероятность равна 1 − 0,81 = 0,19.
Ответ: 0,19.
Задача №9
Решение.
Школьнику достанется вопрос либо по одной теме, либо по другой. Поэтому вероятность суммы двух несовместных событий: 0,2 + 0,15 = 0,35.
Ответ: 0,35.
7. Домашнее задание
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Надеюсь, что данный материал был вам полезен. ))
Если вам понравились задания, поставьте 👍👍👍, пишите комментарии и подписывайтесь на канал, чтобы не пропустить новые публикации))
До новых встреч!