Мне нравится Джордан Элленберг за его энтузиазм и способность передавать математические идеи. Однако я был достаточно недоволен его недавней статьей в "Вашингтон пост", озаглавленной " Хотите, чтобы дети учились математике?". Признайтесьим, что это трудно — что я был вынужден написать эту реплику.Элленберг начинает с признания непрекращающихся дебатов о том, как математику следует преподавать в школах. Он вообще не комментирует, как мы должны преподавать математику, но не согласен с тем, как мы говорим об этом со студентами. В частности, он отмечает сдвиг в риторике в сторону идеи о том, что “математика должна быть легкой”, с которой он категорически не согласен. В статье Элленберг утверждает, что мы должны говорить всем, что “математика очень, очень сложна”.Я собираюсь быть милосердным и предполагаю, что он написал это в основном для того, чтобы быть провокационным — более 1400 комментариев к статье предполагают, что это сработало. Но, все же, есть возможность сказать что — то менее провокационное, что не совсем очевидно и противоречит его тезису-математика должна быть легкой.
Легко говорить, что все не так просто
Прежде чем я перейду к этому, я хочу подчеркнуть, что я не согласен с большинством высказываний Элленберга, но его послание запутывается в ложной дихотомии. Прежде всего, да, очевидно, что говорить людям что-то легко, когда это не так, обманчиво. И — также очевидно — обманчивая тактика в обучении имеет негативные последствия. Его более тонкий аргумент состоит в том, что “легкие” вещи не должны требовать вопросов и любопытства, которые, по его мнению, необходимы для развития математических навыков. Здесь я тоже не возражаю.Проблема здесь заключается в множественных значениях слов “легко” и “трудно”. Во-первых, что такое то, что определенно “должно быть легким”? После пяти лет царапин, сломанных кнопок и потерянного пульта дистанционного управления нам пришло время приобрести новый телевизионный экран. Оно прибыло пару дней назад. За пять лет многое изменилось (особенно если вы работаете на низкоуровневом телевизионном рынке). По сути, у меня не было другого выбора, кроме как “перейти” на смарт — телевизор-других вариантов нет. Теперь то, что может сделать эта штука, чрезвычайно впечатляет, поскольку она сложна. Я уверен, что самопровозглашенному “нетехнологичному” человеку было бы невероятно сложно вытащить одну из этих вещей из коробки. И все же это удивительно просто. Он, конечно, предварительно собран, но также имеет простую процедуру настройки с инструкциями на экране. Это называется мастером программного обеспечения, с которым будет знаком любой, кто недавно установил приложение на ПК. Перейти от всех компонентов к потоковой передаче Loki без мастера было бы “сложно”. То есть это было бы утомительно, трудоемко, разочаровывающе, требующе усилий и — вполне возможно — невозможно. Использование потребительских товаров должно быть простым.Что такое “должно быть трудно”? Элленберг, похоже, не возражает против того, что математическое исчисление является одним из примеров. Я приведу несколько недвусмысленных примеров того, что должно быть трудным: плавание с кирпичами, привязанными к лодыжкам, выживание в бою с уткой размером с лошадь (или сотней лошадей размером с утку), борьба с зависимостью, высадка человека на Луну и так далее-это должно быть сложно. Математика (по крайней мере, уровень, который должны знать все люди) не входит в их число.
Но математика-это сложно
Я знаю, я знаю. Вы думаете, что, очевидно, математика дается мне легко, потому что я математик. Это правда. Но также верно и то, что я потратил десятки тысяч часов на занятия математикой. Я занимался математикой так же, как Майкл Джордан занимался баскетболом. Было бы трудно заниматься математикой, которой я занимаюсь сейчас, двадцать лет назад? Конечно! Но образование работает не так.
Баскетболист учится дриблингу перед тем, как стрелять, гитарист учит аккорды перед песней, пилот учится управлению перед полетом и так далее. Никто не идет прямо в математику — по крайней мере, не без явного ожидания неудачи. Существует огромная разница между “трудно” и “должно быть трудно”, и есть огромная разница между “легко” и “должно быть легко”.Математика так же сложна, как и все остальное, что требует времени для изучения, но изучение ее должно быть легким.
Практика
Я недостаточно практиковался на уроках английского языка в средней школе, и мне было трудно получать хорошие оценки по этим предметам. Черт возьми, Grammarly все еще говорит мне, что я не знаю, где здесь запятая, да? Нет, по-видимому, нет. Трудно ли говорить по-английски? Хорошо, да, это, вероятно, один из самых сложных языков для изучения, но для носителя языка это не должно быть сложно. Если бы я практиковался в упражнениях по английскому языку так же, как в математических упражнениях, я, возможно, написал бы гораздо более убедительный текст, чем этот.Величайший математик 20-го века сказал:“В математике ты ничего не понимаешь. Вы просто привыкаете к ним”. — Джон фон НейманЛюбой может преуспеть в математике. Просто на это нужно время. Каждый математик вложил в это время свое время. Кроме этого, нет никакого секретного рецепта. Начните прямо сейчас. Я сказал этого достаточно, чтобы это могло быть моей мантрой: практика.
Не утонуть легко, если держать голову над водой
В нашей культуре существует ложное представление о том, что некоторые по своей природе хороши в математике, а некоторые-нет. Это полностью является следствием структуры школьных систем, существующих сегодня. Для ученика, который отстает, нет пути наверстать упущенное. Материал на каждом уровне разработан таким образом, чтобы в значительной степени полагаться на предыдущий уровень. Это становится порочным кругом, в котором отстающие студенты игнорируются, а тем, кто не получил, уделяется дополнительное внимание.Я был одним из счастливчиков. Когда я ленив в своих словах, я говорю такие вещи, как будто я всегда был хорош в математике. Но это еще не вся история. Более точная версия заключается в том, что мне всегда уделяли дополнительное внимание, а затем хвалили за мое выступление. Это создало цикл положительного подкрепления, насыщенный дофамином. Но быть “хорошим” в математике означало только то, что я справлялся лучше, чем те, кому уделялось меньше внимания, чем мне, — очевидное следствие в ретроспективе.Я не всегда получал особое внимание от учителей. Но тогда мне нужно было самостоятельно искать продвинутые темы. Собирание энциклопедий привело к поиску информации. Это исследование привело меня к самостоятельным открытиям, и к тому времени, когда я поступил в университет, я решал проблемы по-своему. Мое мастерство переросло в страсть — мне нравилось решать задачи, а математика давала мне инструменты, необходимые для этого.Это выражается в следующем практическом совете. Будьте на шаг впереди в математике. Если вы уже отстаете, знайте, что просто потребуется немного больше времени и настойчивости, чтобы наверстать упущенное. Вы не “плохи” в математике. Такого понятия не существует. Если математика кажется “трудной”, это потому, что вы не на правильном уровне или ее плохо преподают. С этими словами я повторю последние четыре слова Элленберга: “Ты можешь это сделать”.