Однажды мне встретилась система алгебраических уравнений, которая надолго оставила след в памяти.
Несмотря на свою кажущуюся простоту, её решение меня впечатлило и заставило задуматься о геометрической интерпретации результата.
Вот эта система.
"Что же в ней такого особенного?" - Спросите Вы. Давайте посмотрим.
Во-первых, сразу бросается в глаза, что количество уравнений (их 2) не равно количеству неизвестных (их 3). Это уже необычно потому, что можно предположить, что система имеет бесконечно много решений.
Во-вторых, заметна "симметрия" относительно неизвестных х и у. Ни одному из них нельзя отдать предпочтение.
Начнём решать эту систему и применим первый приём, называемый "метод подстановки" (или "метод исключения неизвестных"). Этот приём популярен на занятиях, начиная с 9 класса. Его суть в том, что в одном из уравнений системы некоторое неизвестное (назовём его первым) выражается через другие неизвестные, и полученное выражение подставляется вместо него во все остальные уравнения системы. Тем самым первое неизвестное "исключается" из этих уравнений. Отсюда - названия метода. В силу симметрии х и у, выражать будем неизвестное z.
Подставим выражение z через неизвестные х и у во второе уравнение. Неизвестное z исключится из второго уравнения.
Теперь мы сталкиваемся со вторым приёмом, называемым "метод возведения в квадрат трёхчлена". Не часто встретишь в школе его применение по формуле, записанной ниже.
Скорее, учитель предложит вспомнить, что такое квадрат числа, и просто умножить на себя выражение, записанное в скобках. Мы же продолжим.
Раскроем скобки, приведём подобные слагаемые.
И здесь нам придётся применить третий приём, не понимаемый школьниками, и из-за этого часто обходимый при изучении математики. Он называется "метод выделения полного квадрата".
Мы сгруппируем слагаемые с неизвестным х, а так же слагаемые с неизвестным у, дополним разности до полных квадратов.
Получилось интересное уравнение с двумя неизвестными. Как же его решить? И тут на помощь приходит ещё один не популярный у учеников четвёртый приём, называемый "метод оценки частей уравнения". Заметим, что в левой части последнего уравнения записана сумма квадратов разностей. Каждое слагаемое либо больше нуля, либо ему равно. Поэтому их сумма неотрицательна. Равенство нулю возможно только в одном случае - когда одновременно оба слагаемых равны нулю. А в этом случае как раз пригодится ещё один пятый приём, тоже не часто используемый на уроках. Это "метод сведения уравнения к системе уравнений". Последнее уравнение будет равносильно системе уравнений.
Осталось найти значение z и разгадать полученный результат с точки зрения геометрии.
Получено единственное решение. О чём это "говорит"?
Каждое уравнение системы можно рассматривать как уравнение, задающее некоторую поверхность в трёхмерном пространстве. Первое уравнение является линейным, оно описывает плоскость. То, что в результате пересечения поверхностей получена единственная точка, а одно из уравнений задаёт плоскость, наводит на мысль, что эта плоскость является касательной к поверхности, заданной вторым уравнением, b найденное решение - точка касания. В этом легко убедиться (но уже средствами высшей математики).
На этом всё.
Вы находитесь на дружелюбном канале.
Уважайте себя. С уважением, автор.
#математика #школьное образование #репетитор по математике #егэ по математике #огэ по математике