В статье, которую можно прочитать по ссылке, приведены решения пяти задач.
1. К двум окружностям радиусов R и r, касающихся друг друга внешним образом, проведена общая внешняя касательная. Найдите длину этой касательной.
2. Можно ли внутри квадрата разместить три окружности разных радиусов так, чтобы они попарно касались друг друга внешним образом, и каждая касалась двух сторон квадрата.
3. В окружности провели произвольную хорду AB. Она разбила круг, ограниченный данной окружностью на два сегмента. В каждый из них вписана окружность наибольшего радиуса. К этим окружностям провели внешнюю касательную CD. Найдите отношение AB : CD.
4. В окружности провели хорду AB. Она разбила круг, ограниченный данной окружностью на два сегмента. В один из них вписана окружность наибольшего радиуса, в другой — квадрат, две вершины которого лежат на данной окружности, а две другие на хорде AB. Известно, что сторона квадрата и радиус вписанной окружности равны. Найдите отношение радиуса данной окружности к стороне квадрата.
Следующая задача предложена в 2021 году для подготовки к экзамену в МФТИ [1].
5. Хорда окружности, удалённая от центра на расстояние 15, разбивает окружность на два сегмента, в каждый из которых вписан квадрат. Найдите разность сторон квадратов.
Замечание. Хорда окружности разбивает её на две дуги. Она же разбивает круг, ограниченный этой окружностью, на два сегмента. Разумеется, фигуры мы вписываем не в сегмент, а в ограничивающую его фигуру, состоящую из хорды и дуги окружности. Совсем обойтись без вольности речи трудно, текст задания разбухает, но в конкурсных задачах хотелось бы видеть меньше вольностей речи.
Дополнение. После публикации данной заметки в Интернете нашлось длинное решение задачи, которая решается коротко по формуле из задачи 1.
Вот задача со страницы Ещё одно решение 25-го задания ОГЭ на вневписанную окружность (P.S.: Боящимся громоздких вычислений не заходить)
6. Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 72. Окружность радиусом 54 с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания AC. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
Источник
1. Пример вступительного испытания по математике.
https://pk.mipt.ru/bachelor/exams/matematika/
Ссылка:
Окружности в квадрате и квадраты в окружности