Детство Алексея Морозова прошло за кулисами кукольного театра сказки в Санкт-Петербурге, где актером-кукольником служил его отец, поэтому он с малых лет приобщался к миру искусства. Уже во втором классе Алексей вышел на сцену в главной роли в телеспектакле "Путешествие "Голубой стрелы".
После этого сомнений в выборе будущей профессии не было - после школы он стал студентом Санкт-Петербургской академии театрального искусства. После получения диплома был принят в театр Европы. Но в начале 2000-х спектакли ставились редко из-за недостатка финансирования, да к тому же над молодым артистом висела угроза призыва в армию, поэтому он решил "сбежать" в Москву и сменить профессию.
Он устроился PR-менеджером в одну из компаний, быстро дорос до директора крупной рекламной компании. При этом не имел специального образования, профессию познавал по книжке "PR для чайников". Несмотря на успехи в новом виде деятельности, об актерстве никогда не забывал, и когда спустя три года ему позвонили из театра Европы и предложили роль шута в спектакле "Король Лир", он очень обрадовался. Вернулся Санкт-Петербург и еще много лет служил в любимом театре.
В кино его дебют состоялся в начале 2000-х, в одной из ролей в сериале "ОБЖ". К выбору фильмов он всегда подходил очень ответственно, внимательно читал сценарии, поэтому в его фильмографии только качественные проекты, среди которых "Таинственная страсть", "28 панфиловцев", "Время первых". Кстати актера нередко путают с другими популярными актерами - Павлом Деревянко и Сергеем Перегудовым из-за некоторого внешнего сходства.
В отличие от многих коллег он относится к этому с юмором, а не с обидой. С недавних пор он покинул репертуарный театр из-за своей востребованности в кино, но появляется в антрепризных спектаклях. Совсем недавно он дебютировал в качестве режиссера - снял на Украине сериал "Солнечные дни", который с успехом прошел на телеканале "Домашний".
Как карьера, так и личная жизнь у него сложилась счастливо, хоть и не сразу. Первой супругой стала гример Мария. У них родился сын Матвей, но спустя 4 года брак распался. Тем не менее в воспитании сына он принимает активное участие. Со второй женой, популярной сериальной актрисой Даной Абазовой, он два года служил в театре Европы.
Сначала они просто дружили. Лишь когда он находился в процессе развода, их дружба переросла в романтические отношения. Они поженились в 2016 году. По словам актера, одинаковые профессии способствуют лучшему взаимопониманию в их семье.
"По молодости казалось, что профессия большого значения не имеет, но по-настоящему актера может понять только актриса. Я, например, могу после спектакля прийти домой и часами молчать...", - делился актер в одном из интервью. А в мае 2021 года он на своей странице в соцсети поделился с подписчиками радостной новостью - он стал папой второй раз, у него родился еще один сын.