1. В первом цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. Эту жидкость перелили во второй цилиндрический сосуд, диаметр основания которого в 2 раза больше диаметра основания первого. На какой высоте будет находиться уровень жидкости во втором сосуде? Ответ дайте в сантиметрах.
Для решения этой задачи нам необходимо знать как найти объем цилиндра, так как вода принимает форму сосуда и ее количество в обоих случаях одинаковое. Получается, что V1 = V2. Напомню как находить объем цилиндра.
где r - радиус основания цилиндра, h - высота цилиндра, а в нашем случае высота уровня жидкости в сосуде.
Давайте распишем чему равен объем жидкости в обоих случаях.
Я уверена, вы помните, что V1 = V2. А это значит что и правые части между собой равны. Давайте приравняем их и сразу выведем чему равно h2(нам её нужно найти по условию задачи).
h1 = 16 (из условия задачи). Теперь нужно разобраться с радиусом. Т.к. диаметр второго цилиндра в 2 раза больше диаметра первого цилиндра, то получается, что d2 = 2d1. А диаметр равен двум радиусам.
Так мы выразили радиус второго цилиндра через радиус первого. И остается подставить его в формулу и сократить.
Ответ: 4
2. Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна 24. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы.
Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна сумме площадей трех ее боковых граней.
Каждая грань в свою очередь представляют собой параллелограмм. А площадь параллелограмма равна произведению высоты на сторону к которой эта высота проведена.
У треугольной призмы высота всегда остается одинаковой, для каждой из граней. И таким образом мы можем написать формулы для площади большой треугольной призмы и малой треугольной призмы( площадь, которую нам нужно найти)
Теперь нам нужно выразить стороны маленького треугольника, через стороны большого треугольника. А мы знаем, что С малое, проведена через среднюю линию большого треугольника(основание призмы). А что мы знаем про среднюю линию?
- Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника.
- Средняя линия параллельна третьей стороне и равна ее половине.
Отсюда мы можем сделать вывод:
А мы уже знаем, что h(a + b + c) = 24, т.к. это площадь большой трапеции. Поэтому подставим 24 в формулу.
Sмал. = 24 * 1/2 = 12
Ответ: 12
3. Через точку, лежащую на высоте прямого кругового конуса и делящую её в отношении 1:2, считая от вершины конуса, проведена плоскость, параллельная его основанию и делящая конус на две части. Каков объём той части конуса, которая примыкает к его основанию, если объём всего конуса равен 54?
Уже по традиции, нам нужно знать, как посчитать объем конуса. Для этого воспользуемся формулой.
Для того чтобы найти объем усеченного конуса, мы найдем объем маленького конуса и вычтем из объема большого конуса.
Чтобы найти объем маленького конуса, нам нужно выразить его высоту и радиус из большого. Для этого воспользуемся признаком подобных треугольников.
Если катеты одного прямоугольного треугольника пропорциональны катетам второго прямоугольного треугольника, то такие треугольники подобны
Мы с вами точно можем сказать, что эти треугольники подобны, так как они прямоугольные и у них есть общий острый угол, противолежащий радиусу.
Теперь подставим полученные значения и узнаем объем маленького конуса.
Осталось вычесть из объема большого конуса, объем маленького конуса. Так мы и найдем объем усеченного конуса. 54 - 2 = 52
Ответ: 52
Подписывайтесь на мой канал, на котором есть разборы других заданий и появляются новые. И жми палец вверх, если мой разбор помог тебе!
Вы всегда можете написать свое задание для разбора в комментариях!