Начала анализа базируются на алгебре и свойствах чисел. Делимость чисел является одной из важнейших тем алгебры 5-6 классов. Если запустить этот материал, то могут возникнуть проблемы в дальнейшем, в частности на ЕГЭ по профильной математике, где одно из последних заданий связано с теорией чисел. Поэтому сегодня разберем несколько простеньких задач, которые помогут вам вспомнить тему делимости получше.
Задача 1. Доказать, что одно из двух последовательных четных чисел делится на 4.
Решение:
Пусть некоторое число n принадлежит множеству натуральных чисел, то есть n ∈ ℕ. Тогда 2n — четное число, а 2n+2 — следующее четное число. Причем выполняется это при любом значении n, где n ∈ ℕ.
Натуральные числа — это числа, возникающие естественным образом при счёте n ∈ (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и так далее...). Поэтому у нас есть два случая: когда наше n - четное и когда n - нечетное. Рассмотрим оба.
1. Если n = 2k - 1 (нечетное), где k ∈ ℕ.
Число 2n = 2(2k - 1) = 4k - 2 (не делится на 4 без остатка).
Число 2n + 2 = 2(2k - 1) + 2 = 4k - 2 + 2 = 4k (делится на 4 без остатка).
2. Если n = 2k (четное), где k ∈ ℕ.
Число 2n = 2(2k) = 4k (делится на 4 без остатка).
Число 2n + 2 = 2(2k) + 2 = 4k + 2 (не делится на 4 без остатка).
Как мы видим, у нас всегда будет хотя бы одно число из пары двух последовательных четных чисел, которое будет делиться на 4.
Задача 2. Доказать, что сумма двузначного числа и числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке, кратна 11.
Решение:
Итак, мы имеем [a][b] = 10•a + b (двузначного число, где a - цифра десятков, b - цифра единиц). Аналогично можно представить обратное число [b][a] = 10•b + a. Тогда, складывая эти два двузначных числа, получим [a][b] + [b][a] = 10•a + b + 10•b + a = 11a + 11•b = 11•(a + b). Очевидно, что последнее число кратно 11 (делится на 11 без остатка).
Задача 3. Докажите, что произведение трех последовательных натуральных чисел делится на 6.
Решение:
Обозначим произведение трех последовательных чисел P = k•(k+1)•(k+2).
Попробуем раскрыть скобки и посмотрим что это дает:
P = k•(k² + 3k + 2) = k³ + 3•k² + 2•k. Из этого выражение не видно, что оно делится на 6. Поэтому попробуем использовать индуктивное доказательство. Проверим делимость на 6 при k = 1:
P = 1•(1 + 1)•(1 + 2) = 6 — кратно 6 (верно).
Теперь, сделаем предположение, что для некоторого k = s у нас выполняется предположение о том, что P(s) = s•(s+1)•(s+2) тоже кратно 6.
А сейчас попробуем доказать тот факт, что если P(s) mod 6 ≡ 0, то P(s + 1) тоже кратно 6, то есть P(s + 1) mod 6 ≡ 0.
P(s + 1) = ( s+1 )•(( s+1) + 1 )•( (s+1) + 1 ) = (s+1)•(s+2)•(s+3) = (s+1)•(s+2)•s + 3•(s+1)•(s+2). По нашему предыдущему предположению (s+1)•(s+2)•s делится на 6 без остатка. Значит нам нужно доказать, что 3•(s+1)•(s+2) тоже делится на 6 без остатка. Мы можем также расписывать через индукцию, но давайте попробуем по-другому. Очевидно, что 3•(s+1)•(s+2) делится на 3, так как в этом произведении уже есть тройка. Тогда остается доказать, что (s+1)•(s+2) делится на 2. В силу того, что у нас произведение двух последовательных чисел, то какое бы ни было s (четное или нечетное), всегда будет верно, что либо (s+1), либо (s+2) будет четным, а значит будет делиться на 2 без остатка. Отсюда следует, что 3•(s+1)•(s+2) кратно 6 при любом значении s.
Итак, (s+1)•(s+2)•s — кратно 6 и 3•(s+1)•(s+2) — кратно 6, значит их сумма тоже кратка 6. Таким образом, мы получили, что если P(s) mod 6 ≡ 0, то отсюда следует, что P(s + 1) mod 6 ≡ 0. С учетом верности P(1) mod 6 ≡ 0, индукция замыкается на бесконечность, то есть наше выражение для произведения трех последовательных чисел P = k•(k+1)•(k+2) кратно 6 при любом значении k.
Доказательство слишком длинное? Ну тогда, можно и без индукции.
У нас есть три последовательных числа. Значит одно из них обязательно делится на 3. Так как возможные варианты остатков от деления на 3 это {0; 1; 2}, то достаточно трех последовательных чисел, чтобы хоть какое-то (второе или третье число) добило недостающий остаток первого числа до тройки. С другой стороны, в трех последовательных числах всегда есть два последовательных числа. А в двух последовательных натуральных числах всегда какое-то делится на 2, что мы уже доказывали выше. Значит произведение из трех последовательных чисел всегда делится на 2 и на 3, а значит и на 6. Что и требовалось доказать.
Задача 4. Докажите, что разность [a][b] - [b][a] кратна 9.
Решение:
Имеем [a][b] = 10•a + b (двузначного число, где a - цифра десятков, b - цифра единиц). Аналогично можно представить обратное число [b][a] = 10•b + a. Составляем их разность [a][b] - [b][a] = 10•a + b - 10•b - a = 9•a - 9•b = 9•(a - b) , что кратно 9, так как произведение содержит множитель 9.
Задача 5. Докажите, что всякое трехзначное число, записанное одинаковыми цифрами, делится нацело на 37.
Решение:
Возьмем некоторое число из одинаковых цифр, например [k][k][k]. Данное число можно расписать так [k][k][k] = 100•k + 10•k + k = 111•k. Число k взято абсолютно произвольным, поэтому про него ничего не сказать. Проверим, делится ли 111 на 37. Можно найти, что 111 = 37•3. Таким образом, т.к. 111 делится на 37 без остатка, то и 111•k будет делиться на 37 без остатка, а значит всякое трехзначное число, записанное одинаковыми цифрами, делится нацело на 37, что и требовалось доказать.
Задача 6. Какой цифрой заканчивается произведение 71•72•73•74•75•76•77•78•79 ?
Решение:
Число, представляющее собой произведение будет явно сильно большим. Но последняя цифра будет зависеть от произведения единиц всех наших цифр. Поэтому вычисления можно сократить, просчитав сначала 1•2•3•4•5•6•7•8•9 = 6•4•5•6•7•8•9 = 24•5•6•7•8•9 = 120•6•7•8•9. Здесь нам стоит остановиться, немного подумать о том, что последняя цифра этого произведения опять зависит только от последних цифр множителей, входящих в него. Но там есть 0 во множителе 120, поэтому последняя цифра произведения 120•6•7•8•9 будет равна 0. А значит исходное произведение 71•72•73•74•75•76•77•78•79 также заканчивается на цифру 0.
Что нужно повторить из теории?
Признаки делимости чисел
Математическая индукция (для доказательства сложных математических рассуждений)
Понравилась задачка? Поставьте лайк, подпишитесь на канал! Вам не сложно, а мне очень приятно :)
Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK
Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в VK
Репетитор IT mentor в Instagram
Репетитор IT mentor в telegram