"Комплексные числа — это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием" Лейбниц
Мнимые числа божественны, так как они чистые абстракции и они принадлежат к другой системе счисления, называемой комплексной, которая включает подмножество всех действительных чисел. Основа этой комплексной системы - мнимая единица или число i:
Можно вполне оправдано задаться вопросом: что может быть менее практичным, чем число, описываемое как мнимое?
Но мнимые и комплексные числа оказываются невероятно востребованными. Они имеют далеко идущее влияние на физику, технику, теорию чисел и геометрию . И они являются первым шагом в мир странных систем счисления, некоторые из которых предлагаются в качестве моделей таинственных отношений, лежащих в основе нашего физического мира. Например, основное применение комплексные числа нашли в электротехнике и электронике: их используют для описания синусоидального переменного тока. Давайте посмотрим на эти незнакомые числа, которые большинство плохо знает.
В начале были известны только натуральные числа. Понятие натурального числа ограничивало использование арифметических операций. На множестве целых значений невозможно решать все задачи деления. В итоге появились дроби. Работа с дробями привела сначала к понятию рациональных чисел, затем - к иррациональным. Если для рационального можно указать точное расположение точки на линии, то для иррациональных такую точку указать невозможно. Можно только приблизительно указать интервал нахождения. Объединение рациональных и иррациональных числе образовали множество действительных чисел.
«Действительные числа» - это хорошо известные нам математические объекты: например 5, 8,2, -13,712, 0, 10,33333… и π≈3.141592…. Мы можем складывать, вычитать, умножать и делить действительные числа и использовать их в повседневной жизни. У действительных чисел есть физический смысл. Но действительных чисел недостаточно для решения всех математических задач. Им всем присуща одномерность. Прямолинейность числовой прямой иллюстрирует это графически. Вы можете перемещаться вверх или вниз по ней, но все «движения» по этой линии будут ограничиваются горизонтальной осью. Одномерных, скалярных чисел вполне достаточно для подсчета количества предметов, выражения веса или измерения постоянного напряжения батареи. Но они не могут обозначать что-то более сложное. Скалярами невозможно одновременно выразить расстояние и направление между двумя городами, или амплитуду с фазой. Представлять эти измерения необходимо уже в виде многомерной области значений. Другими словами, нам нужны векторные величины, которые могут иметь не только величину, но и направление распространения.
Если вам нужно назвать расстояние между двумя городами, то можно дать ответ, состоящий из одного числа в милях, километрах или в других единицах измерения линейных расстояний. Однако если вы должны описать, как добраться из одного города в другой, то необходимо дать больше информации, чем просто расстояние между двумя точками на карте. В этом случае стоит сказать о направлении, в котором надо двигаться и о времени движения.
Вид информации, которая выражает одномерное измерение, в науке называется скалярной величиной. Скаляры – это числа, используемые в большинстве математических расчетов. К примеру, масса и скорость, которыми обладает тот или иной объект являются скалярными величинами.
Для того чтобы успешно анализировать природные явления, как сложные объекты, нам нужны абстрактные многомерные числа. В сложных областях для анализа скалярные числа недостаточны, здесь работают комплексные числа. Они дают возможность выразить два измерения одновременно. Комплексное число представляет собой значение, которое включает в себя два типа данных.
С чего все началось?
Великий итальянец Кардано и его открытие мнимых чисел
Долгое время для решения задач математикам было достаточно действительных чисел. Развитие астрономии, механики, физики требовало решения все более сложных уравнений. Желание всегда получать решение алгебраических уравнений (квадратных, кубических и т. д.) привело к появлению комплексных чисел. Комплексные числа возникли в итоге решения алгебраических уравнений второй и третьей степени.
В книге Дж. Кардано «Великое искусство», изданной в 1545 г., Кардано нетривиально решил следующую задачу: требуется число 10 разделить на две части, произведение которых равно 40.
Чтобы решить эту задачу, он записал уравнение: x (10-x) = 40. Когда он решил это квадратное уравнение, то получил два решения: 5 + √-15 и 5 - √-15, что в то время не имело никакого смысла. Этот результат был бессмысленным, Никакой практической ценности в них Кардано не увидел, и, скорее всего, этот пример был приведен им как некий курьез. Но это было первое известное появление мнимых чисел (т. е. корней из отрицательных чисел). Как бы то ни было, он открыл уникальные числа, неизвестные ни грекам, ни математикам исламского мира. Он первым в Европе стал использовать отрицательные корни уравнений .
Долгое время отношение математиков к мнимым величинам было на грани мистики. Поражало то, что несмотря на то, что этих чисел нет, но тем не менее они формально являются настоящими решениями уравнений.
Для итальянского математика Рафаэля Бомбелли, жившего в 1575 г., мнимые числа были «сумасбродными мыслями». (Рафаэль Бомбелли первым установил правила умножения комплексных чисел в 1572 г)
«такие числа по самой своей природе невозможны и обычно называются мнимыми или воображаемыми числами, поскольку они существуют только в воображении» Леонард Эйлер
"Однако Лейбниц думал иначе. Он не только определял мнимое число как i х i = —1, но и описывал его как «Святой Дух» математики, возможно, потому что его физическое значение не поддавалось непосредственному пониманию. Для него мнимое число было призраком – Святым Духом, стоящим за материальной реальностью. Для Лейбница мнимые числа были «утонченным и удивительным прибежищем божественного духа – почти промежуточной стадией между бытием и небытием…»" Минделл Арнольд "Квантовый ум"
Название “мнимые числа” ввел в 1637 году французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777 году один из крупнейших математиков XVIII века. Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа - 1 (мнимой единицы).
Первым математиком, назвавшим √-1 мнимым числом i, был гениальный Эйлер.
√-1 - мнимая единица вошла во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу. Понятие мнимого числа привело к появлению «комплексных чисел» - продуктивного расширения действительных чисел. Термин “комплексные числа” также был введен Гауссом в 1831 году.
Когда мы объединяем действительное число и мнимое число, мы получаем комплексное число. Оно имеет вид «a + bi», где:
a — действительная часть
b — мнимая часть
Комплексное число это единое число, а не сложение, просто оно выражается двумя составными частями - действительной и мнимой.
Множество комплексных чисел содержит в себе множество действительных чисел R⊂C : любое действительное число можно представить в виде: а = а + 0I
Все множество комплексных чисел обозначается символом C. Все множество вещественных чисел обозначается R.
Арифметические действия над комплексными числами те же, что и над действительными: их можно складывать, вычитать, умножать и делить друг на друга. Однако многие свойства комплексных чисел отличаются от свойств вещественных чисел. Например, нельзя указать, какое из двух комплексных чисел больше или меньше.
Сложение и вычитание происходят по правилу
(a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i,
а умножение — по правилу (a + bi) · (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i (здесь как раз используется, что i2 = –1)
Геометрическая интерпретация
Геометрическое значение комплексных чисел как точек на плоскости было впервые описано Каспаром Весселем.
В начале 19 века Робер Арган высказал следующую идею. Поскольку умножить на минус 1 означает повернуть на 180°, то квадратный корень из минус 1 означает повернуть на половину (90°). Если повернуть дважды на четверть оборота, вы сделаете пол оборота. Квадрат четверти оборота — это пол оборота (минус 1). То есть квадратный корень из минус 1 отвечает точке, в которую минус 1 переходит при повороте на 90°. Поскольку такое построение, выходящее за пределы горизонтальной прямой, выглядит странным, говорят, что такая точка, являющаяся квадратным корнем из минус 1 — это мнимое число i.
Спасибо за внимание!