«Есть некоторые загадки, в которые человеческий разум никогда не проникнет. Чтобы убедиться в этом, достаточно бросить взгляд на таблицы простых чисел. Мы заметим, что в них нет ни порядка, ни закона» Эйлер
Известный анекдот: «Кто-то спросил известного математика, если он заснет и проснется через 100 лет, каким будет его первый вопрос? Гильберт ответил: «Доказана ли гипотеза Римана?»
Любой глупец может задавать вопросы о простых числах, на которые не сможет ответить и самый умный человек.
Гипотеза Римана: Все нетривиальные нули дзета-функции имеют действительную часть, равную 1/2
Гипотеза Римана - самая печально известная нерешенная проблема в математике. С тех пор, как она была впервые предложена Бернхардом Риманом в 1859 году, эта гипотеза сохранила статус «Святого Грааля» математики. Фактически, тот, кто ее решит, получит приз в 1 миллион долларов от Института математики Клея. Итак, что такое гипотеза Римана? Почему это так важно? Что это может сказать нам о хаотической вселенной простых чисел? И почему ее доказательства так неуловимы?
Все мы знаем, что число может быть или простым, или составным. Все составные числа состоят из простых и могут быть разложены на их произведения (a x b). В этом смысле простые числа являются «строительными блоками» или «фундаментальными элементами» чисел.
Простые числа появляются во всей последовательности подсчета чисел, но их появление не подчиняется какой-либо очевидной закономерности. Вопрос, которому уже 3000 лет:
Существует ли правило, формула, говорящая, сколько имеется простых чисел, меньших данного числа?
Если посмотреть на список простых чисел внимательно, то станет заметно, что они скудеют по мере продвижения вперед по списку. Между 1 и 100 имеется 25 простых; между 401 и 500 их 17; а между 901 и 1000 — всего 14. Как видно, число простых в каждом блоке из сотни чисел убывает. Если бы мы продлили список, включив в него все простые числа до миллиона, то обнаружилось бы, что в последнем блоке из сотни чисел (т.е. среди чисел от 999 901 до 1000 000) всего лишь восемь простых. А если продлить до триллиона, то в последнем блоке из сотни чисел нашлись бы только четыре простых.
Вопрос: можно ли найти правило, закон для описания того, как именно истончаются простые числа? В пределах сотни имеется 25 простых чисел. Если бы простые числа были распределены строго равномерно, то, разумеется, в пределах тысячи их было бы в 10 раз больше, т.е. 250. Но из-за истончения там в действительности только 168 простых. Почему 168? Почему, скажем, не 158, или 178, или еще сколько-нибудь? Существует ли правило, формула, говорящая, сколько имеется простых чисел, меньших данного числа?
В 300 году до н. э. Евклид доказал, что количество простых чисел бесконечно. Нет наибольшего простого числа. Сколь большое простое число вы бы ни взяли, всегда найдется еще большее. Простые числа продолжаются безконечно.
В конце 1700-х годов математики пытались понять общую структуру бесконечных рядов, в том числе, они начали серьезно задаваться вопросом: можно ли спрогнозировать появление простых чисел в бесконечном ряду? Существует ли правило, формула, говорящая, сколько имеется простых чисел, меньших данного числа?
Расходящиеся и сходящиеся бесконечные ряды
Складывая достаточно большое число членов гармонического ряда, можно получить сколь угодно большой результат. У этой суммы нет предела, гармонический ряд расходится.
В рядах изумляет не то, что некоторые из них расходятся, а то, что так делают не все ряды. Когда мы складываем бесконечное число слагаемых, разве мы не вправе ожидать, что и ответ будет бесконечен?
Мать всех функций - Дзета-функция
Возьмем ряд суммы обратных квадратов всех положительных целых чисел
Математикам нетрудно было показать, что этот ряд сходится, то есть сумма стремится к некому числу, а не уходит в бесконечность, в нашем случает ряд стремится к некому числу, в окрестности 1,644 или 1,645, но к какому конкретно?
Важно осознать разницу между гармоническим рядом и этим новым рядом. В случае гармонического ряда сложение бесконечного числа слагаемых дало бесконечный результат. Здесь же сложение бесконечного числа слагаемых дает конкретное число, которое называется пределом. Гармонический ряд расходится. Наш новый ряд суммы обратных квадратов сходится, что означает - он имеет предел.
Вопрос: каков точный предел ряда обратных квадратов?
Эта задача была решена в 1735 г, через 46 лет после своей постановки Бернулли, и решил ее молодой Леонард Эйлер, трудившийся в это время в Санкт-Петербурге. Его потрясающий ответ имел вид - π2/6. Да, это «то самое» π, магическое число, равное 3,14159265…,отношение длины окружности к ее диаметру. Что же оно делает в задаче, которая не имеет ни малейшего отношения не только к окружностям, но и вообще к геометрии?! Современных математиков это не так уж изумляет, они привыкли, что π можно встретить в математике где угодно, но в 1735 году этот ответ произвел сильное впечатление на математиков.
Эйлер вычислил суммы аналогичных рядов для целых степеней > 2. Так появилась знаменитая дзета-функция Эйлера:
Метод Эйлера дает ответ для каждого четного N. А что, если N нечетное? Полученный Эйлером результат ничего про это не говорит. Как не говорит и ни один другой результат, полученный за последующие 260 лет.
Дзета-функция — королева всех математических функций, она привлекает наибольшее внимание специалистов. Ее название происходит от греческой буквы ξ (дзета), и в первый раз ее использовал Эйлер в решении так называемой Базельской задачи, принесшей ему известность.
Знаменитое тождество Эйлера
Существует загадочная связь между дзета-функцией и простыми числами. Эта связь также была установлена Эйлером, когда он показал, что для двух натуральных чисел n и p, где p является простым, справедливо следующее:
где П - «функция счета простых чисел». Например, П (10) = 4, поскольку четыре простых числа меньше или равны 10 (2, 3, 5 и 7). Точно так же П (100) = 25, поскольку 25 из первых 100 целых чисел простые.
Знаменитое тождество Эйлера, в левой части которого стоит сумма величин, обратных степеням всех натуральных чисел, а в правой части стоит произведение величин, обратных степеням всех простых чисел: Эта формула выражает, на языке анализа, отношение между натуральными и простыми числами.
Гипотеза Гаусса - Теорема о распределении простых чисел
Первым человеком, которому приоткрылась истина, содержащаяся в Теореме о распределении простых чисел (ТРПЧ), был Карл Фридрих Гаусс, живший с 1777 по 1855 год. Гаусс вполне может претендовать на звание величайшего математика из всех вообще когда-либо живших. В течение своей жизни он был известен как Princeps Mathematicorum — Князь Математиков,
Еще в юности Гаусс получил в подарок книгу, в которой содержались таблицы нескольких миллионов простых чисел. Гаусс заметил, что числа появляются без всякой системы. Казалось почти невозможным определить порядок их распределения, или формулу, которая позволила бы находить их в бесконечном множестве натуральных чисел. Гаусс решил принять вызов. Мысль о том, что математики не могли найти правила распределения простых чисел, подхлестывала разум Гаусса. Он должен был найти порядок и регулярность там, где, казалось, есть только хаос.
В 14 лет Гаусс получил в подарок книгу о логарифмах. В книге логарифмов содержалась также таблица простых чисел, так что острый ум Гаусса начал проверять, нет ли какой-то связи между этими двумя таблицами, и здесь лежат истоки его огромного вклада в теорию простых чисел. Вместо того чтобы прогнозировать точное место простого числа относительно предыдущего, Гаусс попытался понять, можно ли проверить, сколько существует простых чисел, меньших 100, или 1000, или любого другого числа. Есть ли какой-то способ узнать, сколько таких чисел между 1 и N для заданного натурального числа N? Для этого он определил функцию:
П(Ν) = мощность множества {ρ<=Ν, где р — простое число}.
где П - «функция счета простых чисел». Например, П (10) = 4, поскольку четыре простых числа меньше или равны 10 (2, 3, 5 и 7). Точно так же П (100) = 25, поскольку 25 из первых 100 целых чисел простые. Среди первых 1000 целых чисел 168 простых чисел, поэтому П (1000) = 168 и так далее. Следуют ли эти вариации какой-нибудь модели, которую можно выразить математически?
Гаусс воспользовался своими таблицами простых чисел, чтобы найти ответ на этот вопрос. Когда он понаблюдал за долей простых чисел, взятых во все больших интервалах, он увидел, что они следуют некой регулярной структуре - графику. График этой функции счета простых чисел показал ему где именно, появляются простые числа, по мере того как они возрастают. Вот как выглядит эот график для чисел в интервале от 10 до 100:
Взглянув на эти графики, Гаусс спросил себя: есть ли какая-либо функция имеющая подобный график? Гаусса озарило, что логарифмы здесь могут играть важную роль.
"...обратив внимание на уменьшающуюся частоту, с которой появляются простые числа, я их вычислил в нескольких группах из тысячи чисел и бегло набросал результаты, листок с которыми прилагаю к письму. Я вскоре осознал, что при всех своих флуктуациях эта частота в среднем близка к величине, обратно пропорциональной логарифму…" Гаусс
Гаусс чисто эмпирически, обнаружил, что плотность простых чисел «в среднем близка к величине, обратно пропорциональной логарифму»
Затем Гаусс выяснил, что наиболее подходящим для его вычислений основанием было число е, и, следовательно, он решил воспользоваться натуральными логарифмами.
Это дало Гауссу основание сформулировать следующую гипотезу: для чисел в промежутке от 1 до N средняя удаленность между простыми числами равна ln(N). Следовательно, мы можем определить значение функции счета простых чисел П как: П(Ν) = 1/ln(N).
Теорема о распределении простых чисел гласит, что если случайным образом выбрать натуральное число N, то вероятность П(N) того, что это число будет простым, примерно равно 1 / ln(N). Это означает, что средний разрыв между последовательными простыми числами среди первых N целочисленных значений приблизительно равен ln(N).
Гаусс никогда не думал, что это точная формула. Он считал, что она может использоваться для оценки, для установления какого-то порядка в распределении простых чисел. Гаусс записал это приближение в книге логарифмов, но никому не объяснил своей идеи, поскольку у него не было доказательств правильности этого наблюдения и он не знал, сохранится ли модель по мере увеличения Ν. Такое поведение вполне соответствовало представлениям Гаусса о том, как нужно вести научные исследования. Без доказательства связь между простыми числами и логарифмами для ученого не имела ценности. Однако его идея стала зачатком нового способа решения проблемы и дала в будущем чудесные результаты.
В 1859 году Бернхард Риман написал 9-страничный документ в знак благодарности за его прием в Берлинскую академию наук, которая впоследствии заложила основы современной аналитической теории чисел. Его работа была направлена на доказательство гипотезы Гаусса о теореме о простых числах и ее углубление.
Бернхард Риман (полное имя Георг Фридрих Бернхард Риман, 1826–1866) был застенчивым скромным немецким математиком, внесшим значительный вклад в несколько областей математики, включая анализ и дифференциальную геометрию. Он написал только одну статью по теории чисел , но именно она содержала формулировку его гипотезы, так что это одна из самых важных работ по теории чисел, когда-либо опубликованных. Кроме того, его работы по дифференциальной геометрии проложили путь к математическим основам общей теории относительности Эйнштейна .
Риман совершил крупный прорыв в теории простых чисел и этот прорыв позволил впервые понять глубокие загадки простых чисел. Риман также был одним из основателей комплексного анализа, который является разделом математики, изучающим функции со сложными входами и выходами.
Мы знаем что квадрат любого действительного числа положителен, поэтому 2 в квадрате равно 4. Но произведение отрицательных действительных чисел также дает положительное число, поэтому нет числа квадрат которого отрицателен.
Но математикам, начиная с 16 века стали необходимы числа квадрат которых отрицателен. Звучит абсурдно, также в свое время воспринимались отрицательные числа, ноль и иррациональные числа.
«Мнимые числа» нормальны, как и все другие, просто они принадлежат новой системе счисления, называемой комплексной системой счисления. Основа этой системы - мнимая единица или число i, где:
Когда мы объединяем действительное число и мнимое число, мы получаем комплексное число. Оно имеет вид «a + bi», где:
a — действительная часть
b — мнимая часть
Комплексное число это единое число, а не сложение, просто оно выражается двумя составными частями - действительной и мнимой.
Комплексные числа являются естественным расширением нашей обычной системы счисления.
Геометрическая интерпретация комплексного числа
Риман как и Эйлер понял, что дзета-функция Эйлера - это золотой ключ к теореме о распределении простых чисел.
Но для реализации его подхода ему пришлось предложить смелое расширение - определить дзета-функцию не только действительной, но и комплексной переменной, например
Если мы построим график дзета функции в комплексной плоскости, то увидим как ряд начинает красиво закручиваться по спирали
Этот бесконечный ряд, названный дзетой-функцией Римана, является аналитическим (то есть имеет определяемые значения) для всех комплексных чисел с вещественной частью больше 1 (Re(s) > 1). В этой области определения он сходится абсолютно.
У Римана возникла блестящая идея, а что если раширить дзета-функцию на остальную часть комплексной плоскости, Для этого Риман использовал технику, называемую аналитическое продолжение, которая позволила ему раскрыть скрытый потенциал дзета-функции. Теперь аналитическое продолжение является продвинутой концепцией в комплексном анализе, как логический метод позволяющий заполнить недостающую часть домена дзета-функции Эйлера.
Поэтому секрет аналитического продолжения состоит в том, что на самом деле одновременно работают две функции, одна из которых является исходной дзета-функцией, которая имеет ограниченную область действия. Но другая, это новая функция - дзета-функция Римана, которая выходит за пределы области определенной Эйлером.
При отрицательных чётных целых числах s = -2n дзета-функция становится нулём, иначе дзета-функция Римана имеет нули в каждом отрицательном чётном целом s = -2n. Это тривиальные нули.
Нас интересуют нетривиальные нули, которые являются центральной темой гипотезы Римана. Тривиальные нули - нули функции в действительных точках (-2, -4, -6 и т. д. ) нетривиальные - комплексные значения s, обращающие дзета-функцию в ноль. Все нетривиальные нули лежат в одной области, называемой критическая полоса:
Здесь действительная часть s находится между 0 и 1. Риман доказал, что в этой критической полосе можно найти бесконечно много нулей. Но вот самый важный вывод из новаторской работы Римана - Риман предположил, что все не-тривиальные нули будут лежать не просто где-то на полосе, а на единственной вертикальной линии - критической линии, где действительная часть s равна ровно половине отрезка от 0 до 1:
Это и есть гипотеза Римана! Все нетривиальные нули дзета-функции представляют собой комплексные числа: они лежат на критической линии «действительная часть равна 1 / 2»
Вы наверное задаетесь вопросом: почему расположение этих нетривиальных нулей имеет значение и какое это имеет отношение к простым числам? Почему гипотеза Римана имеет такое большое значение для теории чисел?
Вспомним функцию подсчета простых чисел Гаусса.
Риман смог строго доказать, что если мы сложим все гармоники дзета нулей, мы получим идеальное совпадение с функцией подсчета простых чисел Гаусса. Иными словами, дзета - функция Римана, в некотором смысле контролирует колебания простых чисел вокруг их «среднего» поведения. Положения бесконечного набора точек комплексной плоскости - «нетривиальных нулей» («дзета-нули» или «нули Римана») связано с бесконечным набором волнообразных объектов, которые коллективно управляют флуктуацией простых чисел. Поэтому гипотеза Римана показала, что расположение простых чисел на самом деле можно предсказывать.
Поясним это с помощью аналогии: представим себе функцию, характеризующую звуки скрипичного концерта — ряд синусоидальных кривых. Для простоты предположим, что играет только одна скрипка. Вместе с рядом четких подъемов и впадин мы увидим другие неопределенные формы, которые несколько нарушают гармонию кривой линии. В акустических терминах это называется «белый шум», возможными причинами которого являются статические разряды, фоновые звуки и так далее. Таким образом, гипотеза Римана утверждает, что любые отклонения в распределении простых чисел связаны с математическим «белым шумом». Это означает, что распределение простых чисел основано на определенном правиле, а не на чистой случайности. Таким образом Риману удалось навести некоторый порядок в разношерстной компании простых чисел.
Простые числа глубоко связаны с расположением нетривиальных дзета-нулей. Это означает, что если гипотеза Римана действительно верна, она расскажет нам все, что мы должны знать о распределении простых чисел. В какой-то момент мощный вычислительный проект проверил более 10 трлн нетривиальных дзета нулей, компьютер искал единственный ошибочный ноль, если бы только нашел, гипотеза Римана не подтвердилась бы.
Но каждый нетривиальный ноль лежал на критической линии. Проверка компьютером путем перебора - это индуктивный метод подтверждения гипотезы Римана. Но математикам нужно строгое математическое доказательство, которого пока нет.
Практически каждая область математики так или иначе связана с гипотезой Римана. Это не так уж удивительно, если учесть основную роль, которую простые числа играют в системе счисления, лежащей в основе всей математики.
Что это за приз в размере 1 000 000 долларов?
Некоммерческий институт математики Клэя был основан в 1998 году, а в 2000 году объявил о своих семи «задачах на премию тысячелетия» , предложив за каждую премию в миллион долларов. Естественно, что гипотеза Римана была одной из таких проблем. Это привело к огромному всплеску общественного интереса к проблеме, но, поскольку ее доказательство уже стало главной наградой для математиков, вряд ли миллион долларов будет иметь для них большое значение. Разумеется, приз до сих пор невостребован.
Спасибо за внимание!