Давайте посмотрим на текст одной из задач этого типа:
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
В интернете есть много разнообразных объяснений, и замечательно-толковые, и не слишком понятные. Здесь, сразу скажу, текста будет много. Но зато он будет легкий и прочитается быстро. Поехали!
Один из важных вопросов, которые стоит себе задавать при решении любых задач, особенно вызывающих затруднения, такой: "Что полезного мы можем по-максимуму извлечь из текста задачи?"
А второй хороший вопрос: "Какие "подводные камни" или трудности понимания текста требуют расшифровки"?
1) Начнем, пожалуй, с очевидного "подводного камня"
1. Если автоматы не зависят друг от друга, если процесс "заканчивания" кофе в одном автомате не зависит от того, что происходит в другом автомате, то событие "кофе закончится в 1-м автомате" будет считаться независимым от события "кофе закончится во 2-м автомате".
Важно, что в случае независимых исходов, вероятность одновременного исхода №1 и №2 будет равна произведению вероятностей. То есть:
0,3х0,3=0,09
Это число противоречит условию задачи. Так как черным по белому написано, что вероятность одновременного окончания кофе в обоих автоматах не 0,09, а 0,12!
Это рассуждение очень важно для понимания всей сути задачи.
Явно события "кофе закончится в 1-м" и "кофе закончится во 2-м" не являются независимыми.
А на бытовом языке мы можем сказать, что автоматы как-то влияют друг на друга. Или то, что с ними происходит "заставляет" их влиять друг на друга. Не важно даже, почему. Но давайте пофантазируем, чтобы принять задачу, и понять, что она "не тупая", не ради красного словца, а реально иллюстрирует то, что может с автоматами происходить. Вариант 1: психология. Если кофе закончилось в одном из автоматов, людей охватывает паника, что им кофе не достанется, возникает ажиотаж, всем хочется кофе, даже тем, кто обычно не пьет, так что во втором автомате вероятность того, что выпьют все кофе, повышается при "не дающем кофе" первом автомате. Вариант 2: человеко-технический. По какой-то интересной статистике может оказаться, что человек, заправляющий автоматы, либо делает это стандартно, загружает на 100%, либо что-то ему "попало под хвост", и он недогружает оба автомата. Ясно, что, если оба автомата недогружены, то вероятность окончания кофе в первом фактически означает более быстрое окончание кофе во втором. Вариант 3: полу-фантастический. Как-то (через электромагнитные поля, или через еще неизвестные науке взаимодействия) при "пустом" первом автомате начинает более интенсивно заправлять кофе второй автомат. То ли он расходует запасенную воду более щедро, то ли подсыпает кофе более щедро. Это, конечно, полу-шуточный вариант, но, чем сложнее система, тем больше в ней "зашитых" сюрпризов, как вы знаете.
Итак, процессы в автоматах как-то зависимы. Этого достаточно для дальнейших "раскопок" по этой задаче.
2) Второй подводный камень, который мы уже незаметно обошли, может немного сбивать с толку. Это фраза "одинаковые автоматы". При таком прочтении у некоторых из нас может возникнуть впечатление, что события независимые (хотя этого не сказано!), что число 0,3 касается изолированно только каждого автомата в отдельности, а не поведения системы в целом.
Как мы выяснили, это не так. И это тоже важно для того, чтобы "нарисовать" себе задачу более ясно. Так что делаем заметку о том, что вероятность 0,3 касается как одного автомата, так и системы в целом. Введь автоматы НЕ НЕЗАВИСИМЫЕ!
3) Третья деталь в понимании - это сами цифры. Итак, вероятность того, что В ОДНОМ ИЗ АВТОМАТОВ ЗАКОНЧИТСЯ КОФЕ равна 0,3, если мы рассматриваем систему. А вероятность одновременного "опустения" обоих автоматов рана 0,12. Ну и важно еще вчитаться в вопрос. А спрашивают нас о противоположном (в бытовом смысле) событии, то есть о том, какова вероятность, что кофе ОСТАНЕТСЯ в обоих автоматах. Теперь давайте размышлять, рисовать, и считать.
4) Четвертый момент - это математическая терминология, которая помогает часто быстрее ухватить суть задачи. Помимо того, что событие А "окончание кофе в 1м автомате" и событие В "окончание кофе во 2м автомате" являются, как мы выяснили, зависимыми, они также являются "совместными". То есть могут произойти оба события сразу.
Если это новый термин, предлагаю представить следующее. "Несовместные" события одновременно произойти не могут, и, в случае автоматов, это бы значило, что если кофе закончится в 1-м автомате, оно обязательно останется во 2-м автомате. То есть для несовместных событий невозможно было бы одновременное окончание кофе в двух автоматах сразу. А в задаче это возможно. Значит, события "совместные".
Итак, давайте уже смотреть на варианты решения этой задачи!
Первый простой способ основан лишь на знании формулы.
Итак, вероятность того, что произойдет либо событие А (кофе закончится в 1м автомате), либо событие В (кофе закончится во втором автомате) равна сумме вероятностей каждого из событий минус вероятность одновременной реализации этих событий.
Р(А+В) называется суммой вероятностей и иногда записывается как Р (А или В), а Р(АВ) называется произведением вероятностей и записывается еще как Р(АиВ).
Вычисляем:
Р(А+В) = 0,3 + 0,3 - 0,12 = 0,48 . В эту вероятность входят исходы:
1. Кофе закончится в автомате 1, но закончится в автомате 2
2. Кофе закончится в автомате 2, но останется в автомате 1
3. Кофе закончится и в 1-м и во 2-м автоматах.
А теперь подумаем, какого еще исхода из всех возможных здесь нет? Правильно! Того, что кофе одновременно останется в обоих автоматах. Следовательно, вероятность этого события равна:
1 - Р(А+В) = 1 - 0,48 = 0,52 - это и есть ответ на вопрос задачи.
Насколько понятен этот вариант решения? Делитесь, пожалуйста, в комментариях!
Способ хорош, но можно формулу выучить, не поняв ее сути и смысла. Поэтому давайте посмотрим, какие могут быть еще варианты решения.
***
Решение вероятности совместных событий через "Круги Эйлера"
Если множества пересекаются, очень наглядно увидеть суть задачи можно через следующий рисунок:
Итак, чтобы посчитать все возможные исходы при "заканчивании" кофе в одном из автоматов, необходимо сложить Р(А) и Р(В), но учесть, что эти числа "перекрываются". Если мы просто сложим их, то мы как бы дважды посчитаем область Р(АВ), так как она входит и в первую вероятность и во вторую. Значит, чтобы результат был верным, мы должны Р(АВ) посчитать либо только в Р(А), либо только в Р(В). Давайте представим, что мы учли ее в Р(А). Получим формулу:
Р(А+В) = Р(А) + ((Р(В) - Р(АВ)), то есть мы вычли из всего числа Р(В) число Р(В), так как мы его уже посчитали в Р(А).
После раскрытия скобок увидим уже знакомую формулу и считаем:
Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ) = 0,3 + 0,3 - 0,12 = 0,48.
Получили такую же вероятность всех событий, кроме единственного (кофе останется в двух автоматах сразу), что и в первом способе. Ну, значит, снова вероятность того, что кофе в двух автоматах останется равна 0,52.
Дополнение к кругам Эйлера
В вышеприведенной картинке мы уже считали Круги Эйлера "олицетворением" самих вероятностей. Но давайте копнем чуть глубже и добавим ясности к тому, почему так можно считать.
Обозначим теми же буквами А и В исходы "кофе закончится в 1-м" и "кофе закончится во 2-м" (автоматах). А буквой С - вообще все возможные исходы, включая и тот, о котором спрашивают в задаче. Тогда изобразить исходы диаграммой Эйлера можно так:
Здесь мы видим не вероятности, а множества возможных событий. Но ведь вероятность это отношение количества одного типа исходов к количеству всех возможных исходов. Поэтому:
Таким образом, круги, обозначающие множества и круги, обозначающие вероятности, дают нам одинаковую модель подсчета вероятности совместных событий.
Третий вариант
"Картинку" всех возможных исходов можно изобразить еще и таким образом:
Здесь видно, что вероятность 0,3 относится к сумме двух событий - закончилось в 1-м автомате, но осталось во втором, а также закончилось в 1-м и закончилось во 2-м. Тогда получается, что "остатки" от 0,3 равны по 0,18. Ну, а 4-й исход по всей логике будет равен 0,52:
А все события вместе, как и следует ожидать, имеют вероятность, равную единице:
0,12 + 0,18 + 0,18 + 0,52 =1
Вот, пожалуй, и все рассуждения по поводу этой задачи. Попробовал рассмотреть ее со всех возможных сторон. Если еще какую-то идею решения забыл, пожалуйста, поделитесь вашими стратегиями, буду рад услышать ваши мнения!
В завершении вопросы:
- Что больше понравилось в этом разборе? Насколько он был доступным и понятным?
- Чего, как вам кажется не хватило?
- Какие у вас любимые темы в математике? Относится ли к ним теория вероятностей?
Заранее спасибо за любые ваши ответы!
Увидимся в следующих статьях!