Добро пожаловать на новый урок по кинематике. Сегодня нам с вами предстоит сделать очень важное открытие, которое даст нам возможность исследовать движение во всей его полноте. Хотя, пожалуй, сделаю оговорку: "даст возможность" - это не значит, что мы научимся математически описывать любое движение. Но мы сегодня должны "уловить", что имеем возможность описания любых движений.
На днях в моем автомобиле произошла небольшая, но опасная поломка - прохудилась топливная магистраль (трубка, проходящая по днищу автомобиля, по которой подается бензин из бака к двигателю) и бензин капал прямо на землю. Для выезда со двора мне приходится сдавать вначале задом. При этом я заметил мокрые места на асфальте. Расстояние между последующими соседними лужицами вначале становились больше, а потом стали одинаковыми. Что же произошло?
Давайте вспомним пример про дырявый пакет с молоком из урока 2. Между каплями молока на асфальте было везде одинаковое расстояние. Мы тогда заключили, что пешеход двигался равномерно - не изменял свою скорость. В случае с моим автомобилем каждая последующая капля бензина вначале пути оказывалась все дальше от предыдущей, а затем расстояние перестало меняться. Значит, автомобиль вначале не двигался равномерно (расстояние между каплями разное), а потом стал двигаться равномерно (расстояние между каплями одинаковое).
Если за одинаковые интервалы времени тело проходит неодинаковые расстояния, то такое движение называется неравномерным.
Посмотрите на рисунок 1. Между каплями разное расстояние. Это явный признак неравномерного движения. Мы не знаем, сколько времени в секундах проходит между падениями капель, но мы точно знаем, что оно одинаковое. Давайте попробуем вычислить среднюю скорость между интервалами падения капель. Напомню, что средняя скорость на участке пути определяется, как отношение этого пути ко времени его прохождения.
Для удобства пронумеруем участки пути.
Для определения длины пути будем отнимать от положения текущей (означающей конец данного участка) капли положение предыдущей капли (означающей начало данного участка). Время между падениями капель одинаковое (t1 = t2 = t3 = t4), а значит, определим его как 1 ед. времени (одна единица времени). Тогда средняя скорость на этих участках:
V0 = 0 (скорость до начала наблюдений, т.е. в момент времени t = 0)
V1 = S1 / t1 = (40 см - 0 см) / 1 ед.времени = 40 см/ед.времени
V2 = S2 / t2 = (120 см - 40 см) / 1 ед. времени = 80 см/ед.времени
V3 = S3 / t3 = (240 см - 120 см) / 1 ед. времени = 120 см/ед.времени
V4 = S4 / t4 = (400 см - 240 см) / 1 ед. времени = 160 см/ед.времени
Построим график зависимости средней скорости от времени (рисунок 3).
Зависимостью скорости от времени в нашем эксперименте является прямая линия. В общем случае в математике уравнение прямой в координатной плоскости xOy определяется, как:
y = kx + b.
Для нашего примера координатной плоскостью является tOv. Составим общее уравнение для зависимости скорости от времени:
V = kt + V0, где V0 - начальная скорость в момент времени t = 0; k - некий коэффициент, означающий тангенс угла наклона прямой скорости к оси времени.
Попробуем определить этот коэффициент по нашим данным. Для начала выразим его:
Для начала, давайте, возьмем первый участок. На нем V0 = 0, V = 40 см / ед. времени, t = 1 ед. времени. Тогда:
Для второго участка V0 = 40 см / ед. времени (начальная скорость именно для этого участка), V = 80 см / ед. времени:
Для третьего участка V0 = 80 см / ед. времени (начальная скорость именно для этого участка), V = 120 см / ед. времени:
Действительно, коэффициент k одинаков на всей прямой. Мы можем брать любые временные отрезки. При этом начальная скорость будет равна скорости вначале именного этого взятого отрезка, а конечная скорость будет равна скорости в конце данного взятого отрезка. Но время мы должны взять то, которое затрачено на весь этот отрезок. Пусть мы исследуем отрезок 2-3-4. Тогда начальная скорость V0 = 40 см / ед.времени, конечная скорость V = 160 см / ед. времени. Время, затраченное на этот отрезок Δt = t4 - t1 = 4 - 1 = 3 ед. времени. Вычислим коэффициент k:
Необходимо теперь разобраться в единицах измерения коэффициента k:
Теперь разберемся с физическим смыслом данного коэффициента. Выражение V - V0 есть ничто иное, как изменение скорости на данном участке: V - V0 = ΔV. Если это изменение происходит за некоторый интервал времени Δt, то отношение ΔV / Δt - скорость изменения скорости, т.е. быстрота ее изменения.
Быстрота изменения скорости называется ускорением.
И так, коэффициент k, о котором мы говорим, есть ничто иное, как ускорение. Ускорение в физике принято обозначать латинской буквой a.
Ускорение является векторной величиной. Направление вектора ускорения совпадает с направлением изменения скорости.
Можно записать формулу в ином виде:
В данной формуле: V - скорость на конец интервала времени t; V0 - скорость на начало интервала времени t; t - длительность интервала (или, проще говоря, это время, за которое скорость изменилась от значения V0 до значения V).
Следует понимать, что вектор ускорения a не обязательно должен совпадать ни с V0, ни с V. Повторю, что вектор ускорения совпадает с вектором изменения скорости:
На рисунке 4 вектор изменения скорости ΔV направлен от конца вектора начальной скорости V0 к концу вектора конечной V скорости (скорость изменяла не только значение, но и направление). Вектор ускорения a при этом сонаправлен вектору изменения скорости ΔV.
Были выяснены единицы измерения коэффициента k. Конечно же, это единицы измерения ускорения. Только если мы в примере с автомобилем измеряли расстояние в сантиметрах, то единицы ускорения в системе СИ будут:
Преобразуем формулу 2, выразив из нее скорость:
Мы получили уравнение скорости от времени. Благодаря формуле 3 мы можем при известных начальной скорости и ускорении (которое постоянно) узнать скорость материальной точки в любой момент времени.
Движение тела с постоянным ускорением называется равнопеременным движением.
Пусть некоторое тело движется вдоль прямой со скоростью V0 = 5 м/с. В момент времени t = 0 тело начинает двигаться с ускорением a = 2 м/с^2 увеличивая свою скорость. Какова будет скорость тела в момент времени 1 с, 2 с, 3 с, 10 с?
И так, начнем решение задачи с того момента, что тело движется вдоль прямой:
1. Это говорит о том, что направление вектор скорости всегда лежит на этой прямой. Ведь если вектор скорости меняет направление так, что не параллелен прямой, то это уже движение не по прямой.
2. Это говорит о том, что вектор ускорения параллелен вектору скорости. Иначе бы вектор скорости изменил бы направление из-за ускорения (еще раз взгляните на рисунок 4).
3. Раз уж тело движется вдоль прямой, то пусть эта прямая будет осью x.
4. Спроектируем вектора скорости и ускорения на ось и запишем уравнение скорости (формула 3) в виде проекций:
V0x = 5 м/с, ax = 2 м/с^2. Подставим в уравнение эти наши начальные параметры:
Мы получили уравнение скорости движения тела от времени.
В задаче сказано, что скорость тела увеличивается, а это говорит о том, что вектор ускорения и вектор скорости в данном случае всегда сонаправлены. Почему? Если бы вектор ускорения был противоположно направлен вектору скорости, то проекция вектора ускорения была бы отрицательна и наше уравнение приняло бы вид:
Подставьте в это уравнение время t = 0 и мы получим скорость 5 м/с, что верно (у нас скорость в начальный момент времени равна V0 = 5 м/с). А теперь подставим в это уравнение время t = 1 с. Тогда скорость получается: Vx = 5 - 2·1 = 3 м/с. Сравните начальную скорость и скорость через секунду! Разве это увеличение скорости? А в задаче сказано "увеличивая свою скорость". Значит вектор ускорения сонаправлен вектору скорости.
Вот теперь посчитаем скорость в необходимые моменты времени:
t = 1 с
t = 2 c
t = 3 c
Посмотрите внимательно, каждую секунду проекция скорости тела увеличивается на значение проекции ускорения!
Значит, проекция ускорения своим значением показывает, на сколько увеличивается соответствующая проекция скорости за одну секунду!
Посчитаем значение скорости тела за 10 секунд:
Задача решена.
В данной задаче происходило увеличение скорости благодаря ускорению. Такое движение тела называется равноускоренным.
Движение тела называется равноускоренным, если проекция вектора ускорения совпадает с проекцией вектора скорости.
Решим эту же задачу, но условием, что скорость тела уменьшается.
Рассуждая также, как и в предыдущей задаче, запишем уравнение скорости, понимая, что вектор ускорения направлен против оси, следовательно проекция ускорения отрицательна (ax = -2 м/с^2):
В данном случае проекция ускорения отрицательна, а это значит, что скорость тела будет уменьшаться. Нетрудно посчитать это, подставив необходимые моменты времени:
t = 1 с -> Vx = 3 м/с;
t = 2 с -> Vx = 1 м/с;
t = 3 с -> Vx = -1 м/с;
t = 10 с -> Vx = -15 м/с;
Посмотрите что произошло. Скорость тела не просто уменьшалась, а стала отрицательна. Тело начало двигаться в противоположную сторону, т.е. против оси.
Интересно, а в какой момент времени это произошло. Очевидно, что перед тем, как стать отрицательной, скорость тела должна была стать нулевой (тело на бесконечно малое мгновение остановилось). Попробуем найти момент времени нулевой скорости:
Если проекция вектора ускорения противоположно направлена проекции вектора скорости, то такое движение называют равнозамедленным.
А теперь проследим, что же происходит:
1. Тело движется равнозамедленно.
2. Тело на мгновение останавливается.
3. Тело движется равноускоренно.
Да! Именно равноускоренно! Ведь проекция вектора скорости тела теперь стала отрицательна, а значит направлена в ту же сторону, куда и проекция вектора ускорения. Модуль скорости тела возрастает!
На сегодня, пожалуй, хватит. До новых тем и задач на канале.