Сегодня хочу разобрать задачи на применение теоремы Остроградского-Гаусса для расчет электрических полей. Данная статья будет особенно актуально для студентов МЭИ, а также других технический ВУЗов. Начнем с определения ТОГ (теорема Остроградского-Гаусса) для вектор диэлектрического смещения, так как решение задач на тему ТОГ начинается как раз с него: поток вектор диэлектрического смещения через любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме свободных зарядов, охваченной этой поверхностью. В определении получается равенство левых и правых частей, слева у нас стоит поток (по сути произведение вектора диэлектрического смещения на площадь поверхности),а справа стоит заряд. После того, как мы определили зависимость вектора диэлектрического смещения от радиус-вектора (расстояния), можно выйти на зависимость вектора напряженности через связь E=D/(e*eo), где e- диэлектрическая проницаемость среды, ео- диэлектрическая постоянная. Теперь у нас уравнение, которое определяет напряженность, и мы может перейти к потенциалу. Чтобы найти зависимость потенциала от радиус-вектора, надо знать две вещи: 1) задать точку отсчета потенциала 2) связь dфи=-Edr Затем интегрированием, используя точку отсчета потенциала, находим зависимость потенциала от радиус-вектора. Все описанное выше можно почитать по ссылке Теперь перейдем к конкретным действиям, которые применимы ко всем типам задач. 1) Мы рисуем картинку по условию задачи. Это может быть несколько сфер, цилиндров, плоскостей. Показываем, как распределен диэлектрик. Указываем направления векторов напряженности электрического поля (если заряд положительный, то от него, если заряд отрицательный, то к нему). Определяемся с гаусовой поверхностью, она всегда совпадает с данными задачи (даны сферы, значит гаусова поверхность это сфера) 2) Определяем сколько у нас промежутков, для которых мы запишем теорему Гаусса. Обычно границами промежутков являются границы диэлектриков, граница появления новых зарядов. 3) Записываем теорему Гаусса. Так как в большинстве случаев плотности распределения заряда не зависят от координаты (радиус-вектора), то просто D*S=q, где S площадь поверхности, а q заряд. Как найти, смотри выше 4) Так. В 3 пункте мы нашли функцию D(r), чтобы выйти на Е(r), надо D поделить на eo в случае вакуума и на eo*e в случае диэлектрика. 5) Чтобы потом не смотреть еще раз на зависимости D(r) и E(r), сразу рисуем их графики. Рисуем схематично, примерно. Надеюсь все знают,как выглядят гипербола, - гипербола и натуральный логарифм. 6) Наверное, самый сложный пункт, это нахождения зависимости потенциала. Его находим из определения dфи=-Edr Здесь для понимания перейду к выбранным произвольно промежуткам: r<R1 фи(r)-фи(0)=-интеграл от 0 до r E1 dr R1<r<R2 фи(r)=-интеграл от 0 до R1 E1 dr - интеграл от R1 до r E2 dr r>R2 фи(r)=- интеграл от 0 до R1 E1dr - интеграл от R1 до R2 E2dr - интеграл от R2 до r E3 dr и ура, у нас получается зависимость потенциала от координаты (радиус вектора) С потенциалом могут быть вопросы: в какой точке мы считаем, что потенциал равен 0. Но это уже отдельный разговор
В комментариях пишите свои вопросы, обязательно отвечу и объясню!