Добрый день, дорогие любители математики! Сегодня разберем еще одну задачу с параметром:
Изучим уравнение. В левой части есть два модуля, модуль логарифма говорит о том, что левая часть неотрицательна. А о чем говорит модуль икс? О четности функции, стоящей в левой части:
Построим график функции, находящейся в левой части уравнения. "Основа" для построения — график ln x, его приводить не будем:
График правой части — прямая, которая будет иметь различный наклон в зависимости от значения параметра. Заметим, что левую и правую части графика прямая пересечет только в одном случае — при a = 0:
При данном значении a будет два решения, что нам не подходит. Во всех остальных случаях решение и ответ для первой и второй четвертей будут симметричны относительно нуля. Поэтому рассмотрим только первую четверть:
Здесь решения будет сначала три:
Потом два, а потом одно:
Соответственно для всех a между 0 и a₀ будет три решения, что и требуется по условию. Найдем a₀. Прямая, у которой угловой коэффициент равен a₀ является касательной к графику ln x.
Угловой коэффициент прямой, которая является касательной к графику функции, является значением производной функции в точке касания. Кроме того, функция и касательная должны быть равны в точке касания:
Найдем производную:
Найдем значение производной в точке:
Выразим x₀ и подставим в уравнение:
Найдем a₀:
С учетом симметрии относительно OY запишем ответ:
Спасибо за внимание и удачи!
Если вам понравились задачи, то ставьте лайки и подписывайтесь на канал. Математики будет много!