Слышали когда-нибудь о парадоксе Монти Холла? Даже если да, думаю смогу вас удивить. Если нет, тогда тем более добро пожаловать - посмотреть здесь будет на что.
Это вам не "поле чудес".
В 1990-х по телевиденью шло занимательное шоу, которое вел некий Монти Холл. В шоу участникам показывали 3 двери и говорили, что за одной из них спрятана машина. Когда игрок выбирал дверь, ведущий открывал одну из оставшихся, за которой машины не было (естественно ведущий знал какие двери "пустые"). После, участнику предлагалось либо изменить свой выбор, либо оставить все как есть. Внимание вопрос: как поступить участнику, чтобы шанс на победу был наибольшим? И каков вообще шанс участника?
Тем, кто никогда с задачей не сталкивался, советую сначала подумать самому, с остальными двигаем дальше.
У нас так принято
Первоначально кажется: что тут думать, ведущий оставляет две двери, значит и шанс 50 на 50, как в старом анекдоте. В чем спрашивается парадокс. В этом случае с ответом к вам придут люди умеющие убеждать и объяснят вам:
Доказательство первое: Смотрим, первоначально мы делаем выбор между одной дверью и двумя другими. То есть шанс, что машина окажется за нашей дверью - 1/3, то что за двумя другими - 2/3. Далее ведущий открывает одну из этих двух дверей, за ней, разумеется, ничего нет, но ведь для этих двух дверей вероятность выпадения машины как была 2/3, так и осталась. Только теперь мы точно знаем за какой дверью из этой пары ничего нет. Следовательно, если мы меняем дверь, то есть выбираем оставшуюся закрытую из пары, то получаем вероятность выпадения машины - 2/3.
Ну или как то так. Если не до конца поняли - не страшно. Есть еще объяснение: предположим, что у нас есть два участника - первый всегда оставляет свой изначальный выбор, другой всегда меняет дверь. Вероятность победы первого участника равна 1/3 так как он выбирает первоначально одну из трех дверей и дальше никак не влияет на ход игры. Следовательно в 2/3 случаев он проигрывает. Логично предположить, что во всех таких случаях выигрывает второй участник (всегда меняющий свою дверь). Более понятно это становится со следующей схемой:
Красные галочки - дверь которую выбрал участник
Синие круги - дверь которую мог открыть ведущий (для первого игрока это не важно).
Синие стрелки - смена двери.
Теперь третье доказательство (чтоб наверняка): Предположим, что мы всегда меняем свою дверь. Машина же находится за 3 дверью. Получаем три возможных различных игры ( предыдущая схема под цифрой 2):
1) Изначально мы выбрали первую дверь, следовательно ведущий может открыть только вторую, чтобы продемонстрировать ничего. Далее мы, по его предложению, меняем дверь и... выигрываем. Класс!
2) Мы выбираем вторую дверь. Ведущий открывает первую. Мы меняем выбор и снова уезжаем из студии на новеньком автомобиле.
3) Мы удачно (не в этом случае) выбираем третью дверь с машиной. Ведущий может открыть любую хоть первую, хоть вторую, мы в любом случае меняем свой выбор с верного на неверный и уходим из студии грустные и пешком. Жаль, очень жаль.
Все, кажется разобрались - в случае смены двери - шанс у нас в 2 раза больше. Осталось понадеяться на удачу и забирать автомобиль... но пришло время охладить пыл. Помните: "казино всегда в выигрыше". Кто очень внимательный - тот заметил важную ошибку (особенно во 2 и 3 доказательствах). Об этом дальше...
Истина где то рядом. Тайна 4 игры.
Сидел я над этой задачей три дня и три ночи, исписал упаковку бумаги и почти отчаялся, но вдруг пришло ко мне озарение. Игры не три, а четыре. Как так, спросите вы, двери то три. Двери три, да плюс хитрый ведущий.
Посмотрим на третье доказательство, описанное выше - в частности 3 пункт. Мы выбираем дверь с машиной. Ведущий открывает первую ИЛИ вторую дверь. Мы обязаны рассмотреть это как два разных случая. В первом, ведущий, соответственно, отворяет дверь с номером один, во втором, с номером два. Мы в обоих случаях меняем первовыбранную дверь и проигрываем. Таким образом проводится ЧЕТЫРЕ различных игры, в двух мы побеждаем, в двух проигрываем. Итого, шанс победы 50/50.
Для пущей уверенности проведем еще одно схожее доказательство:
В этой схеме мы смотрим все случаи для ситуации, когда машина находится за первой дверью (для второй и третьей двери все аналогично).
Суть в том, что если мы изначально выбираем дверь с машиной, то у ведущего есть два варианта открытия пустых дверей. Если же мы избрали "пустую" дверь, то выбор у ведущего только один. В этом и весь парадокс.
Заключение.
Ладно, ладно, дорогой читатель, не гневайся на меня, если я где то оказался не прав. Лучше укажи на ошибку в комментариях, я полностью открыт к дискуссии.
Мораль сей басни такова: учите тервер и не играйте в подозрительных шоу.
Хорошего дня.
#парадокс #теория вероятности #задачи #математические задачи #задачи на внимательность