Представьте число 32 как произведение трёх целых множителей, сумма которых равна 3. Чему равен меньший из множителей?
Порой "по инерции" мы кидаемся решать задачу с начала. Но оправдано ли это?
Если так действовать, нужно найти такие три целых числа, произведение которых равно 32. Здесь, конечно, в помощь таблица умножения, и не так уж и много вариантов, верно? Вот какие варианты, если одно из чисел - "единица":
1х1х32
1х2х16
1х4х8
Остальные комбинации с единицей будут включать тоже лишь эти числа, просто в разном порядке. Заметьте, ни одна из комбинаций в сумме не дает 3.
Легко понять, что другие комбинации можно составить, использовав вместо "единицы" двойку. Например:
2х2х8
2х4х4
Понятно, что в сумме опять у нас гораздо больше, чем "три". Мы пошли длинным путем, потратили время, но решения нет. А вывод простой. Не может быть трех целых чисел, которые дадут нам выполнение поставленных условий. Значит должна быть пара отрицательных чисел. Чтобы "минусы" при умножении превратились в "плюс".
По хорошему, если привязываться к поиску множителей, можно сначала пойти путем поиска делителей числа 32. Вспоминая, что это 2 в 5-й степени, понимаем, что множителями могут быть только единицы и числа кратные 2-м. А, поскольку 1+2 это уже три, то любые варианты с положительными числами нам не подходят.
Можно отказ от 3х положительных чисела аргументировать и более лаконично. Сумма 3х ненулевых положительных чисел равна 3м лишь если каждое из чисел равно единице. Ноль мы сразу не рассматриваем, так как при умножении он в любом случае обратить результат в ноль, а нам нужно 32. Опять вывод - нужны отрицательные числа.
Итак, нам нужны 2 отрицательных числа и одно положительное.
32 - четное число, а именно пятая степень двойки, и у него нет нечетных делителей, кроме единицы. Значит, в произведение трех множителей либо все три должны быть четными, либо два множителя четных, один нечетный. Но дополнительное условие нечетной суммы "три" сразу сужает поиск. Чтобы сумма была нечетной возможен лишь вариант одного нечетного и двух четных чисел. При этом нечетное число - это только единица (или минус единица).
Если четные числа будут отрицательными, например самые малые по модулю - "-2" и "-2", то в сложении с положительной единицей мы останемся в зоне отрицательных чисел:
- 2 - 2 + 1 = -3
Понятно, что и "32" мы здесь не получим. Но важен другой вывод, одно из нечетных чисел это обязательно "-1".
Теперь осталось найти два числа, которые по модулю являются степенями "двойки", одно из которых положительное, а другое отрицательное, чтобы в сумме с минус единицей мы получали "три". Смотрим на те числа, которые в произведении дадут "32". Это по модулю 2 и 16, либо 4 и 8.
-1 - 2 + 16 = 13 - перелет!
-1 - 4 + 8 = 3 - зачет!
Легко увидеть, что других вариантов, кроме -1 - 4 + 8 у нас нет. Так как если брать отрицательным числом "-16" или "-8", то сумма будет в области отрицательных чисел.
Делаем вывод, что меньший из множителей равен "- 4".
Задача решена!
Иногда в олимпиадных или "продвинутых" задачах важно не просто уметь писать формулы, а уметь рассуждать, систематизировать, анализировать знания, проверять различные гипотезы, которые могут вести к решению. Так что если решение не видно сразу, просто поисследуйте разные варианты, и путь обязательно откроется!
Если у вас есть более изощренные, интересные или простые идеи о том, как объяснить решение этой задачи, пишите, пожалуйста, в комментариях.
До встречи в новых заметках и статьях!