Математика онлайн. Доступно о сложном. Серия «Лайфаки для студентов»
Здравствуйте, уважаемые любители математики!
Продолжаем решать упражнения из сборника Демидовича Б.П.
На этот раз найдем предел последовательности.
Заметим, прежде всего, что количество слагаемых в скобках равно n, т.е. при стремлении n к бесконечности число слагаемых тоже неограниченно растет.
При этом каждое последующее слагаемое меньше предыдущего, и при увеличении номера n общий член суммы стремится к нулю.
Т.е. сразу, без дополнительных преобразований, назвать предел не получится.
Рассмотрим внимательно выражение в скобках.
Числители всех дробей равны единице.
А знаменатели представляют собой произведение двух последовательных натуральных чисел.
Это позволяет представить каждую дробь в виде разности более простых дробей.
Если кому-то это свойство не знакомо, то можно применить метод неопределенных коэффициентов.
Кстати, во время решения записали больше слагаемых, чем было дано в условии. Это сделали для того, чтобы в дальнейшем легче было увидеть закономерность.
Теперь начинаем анализировать.
Дробь 1/2 присутствует как со знаком «плюс», так и со знаком «минус», что в итоге дает нуль.
Аналогично взаимно уничтожаются 1/3 и -1/3, 1/4 и -1/4.
Далее, имеется дробь -1/5 и многоточие.
Т.е. нам надо сориентироваться, какие слагаемые будут идти дальше.
Учитывая закономерность, получим, что будет 1/5 – 1/6.
Т.е. 1/5 и -1/5 тоже взаимно уничтожатся.
Аналогично дадут в сумме нуль 1/6 и -1/6, 1/7 и -1/7 и т.д.
Теперь надо понять, какие слагаемые останутся в конце (помним, что в начале осталось число 1).
Видно, что остается дробь 1/(n+1), а взаимно уничтожаются дроби 1/n и -1/n, 1/(n-1) и -1/(n-1).
Дробь 1/(n-2) имеет знак «плюс». Однако перед ней стоит многоточие. Предыдущее слагаемое: 1/(n-3)-1/(n-2).
Таким образом, 1/(n-2) и -1/(n-2) тоже взаимно уничтожаются.
Точно такие же выводы делаем для всех остальных пар противоположных дробей.
Итак, после упрощения алгебраической суммы у нас осталось первое и последнее слагаемые.
Теперь предел находится элементарно.
Как Вы думаете, изменится ли ответ, если в задании убрать последнее слагаемое? А что будет, если в задании убрать первое слагаемое? Пишите Ваши варианты ответа в комментарии.
Не забудьте подписаться на канал, если
- Вам интересны вопросы, которые здесь разбираются;
- Вам могут потребоваться консультации по математике (подробнее здесь).
Другие статьи серии «Лайфаки для студентов»
О канале
#математика онлайн (лайфаки) #математика #высшая математика #задачи #математические задачи #образование #репетитор #репетитор по математике #онлайн-обучение #репетитор онлайн