…и опыт, сын ошибок трудных
И гений…
Эту статью я с задачки начну, даже отличник ответит не сразу. Надо точно и быстро в уме перемножить 43 и 47. Получилось? Дочитайте до конца, и если Вы будете внимательны и чуточку постараетесь, то научитесь легко умножать много разных чисел и возводить их в квадрат. Я расскажу о некоторых приемах облегчающих устный счёт. Например, как возводить в квадрат числа, оканчивающиеся на 5 или числа, «близкие» к ста или …
Впрочем, всё по порядку.
Но прежде небольшая ремарка.(это самое сложное), о терминах:
*) В статье речь пойдёт о действиях с натуральными числами.
A) Приписать число (b) справа двумя знаками к числу (a) – это значит: получить число N = 100⸱a + b.
Т.е. если число (b) состоит из одной цифры, то надо дописать незначащий «0» (0→00, 1→01, 2→02, … 8→08, 9→09 ) и приписать справа к числу (a) . Например, см. РИС 1.
B₁) Избыток данного числа n над K это (n – K).
B₂) Недостаток данного числа n до K это (K – n).
C) Самая правая цифра числа – это количество единиц данного числа. (разряд единиц)
Числа первого десятка: 1, 2, 3,… 8, 9, 10 – числа одного десятка;
числа второго десятка: 11,12,13,… 18, 19, 20 – числа одного десятка;
………………………………………………….
числа пятого десятка: 41, 42,43,…48, 49, 50 – числа одного десятка;
числа шестого десятка: 51, 52,53,…58, 59, 60 – числа одного десятка;
………………………………………………….
числа девятого десятка: 81, 82,23,… 88, 89, 90 – числа одного десятка;
числа десятого десятка: 91, 92,93,… 98, 99, 100 – числа одного десятка;
(2021 год – третий десяток третьего тысячелетия по григорианскому календарю)
Так, о терминах договорились…
А теперь начнём.
…ничего приёмчик… Я тоже так умею…
I. Как (легко) перемножить два числа одного десятка, в сумме дающие число кратное 10?
Т.е. числа вида см. РИС. 2:
Чтобы перемножить такие числа нужно:
1° “отбросить” правую цифру у одного из чисел;
2° оставшееся число (j) умножить на (j+1) ;
3° к полученному результату приписать справа двумя знаками произведение (разрядов) единиц данных чисел. Примеры . см. РИС 3.
Теперь легко решить «задачку» в начале статьи.
43 × 47 → 4×5 = 20 → 2021 (3×7)
Вот так всё просто!
Следствие:
Чтобы возвести в квадрат число оканчивающееся “5” нужно:
1° «отбросить» правую цифру у числа;
2° оставшееся число (j) умножить на (j+1)
3° к полученному результату приписать справа ‘25’ (5×5)
Примеры: РИС 4.
Вот так всё просто!
IIa. Чтобы легко возвести в квадрат число от 41 до 50 нужно:
1° недостаток числа до 50 отнять от 25;
2° к полученному результату приписать справа двумя знаками квадрат недостатка. примеры: РИС 5.
Вот так всё просто!
IIb. Чтобы легко возвести в квадрат число от 51 до 59 нужно:
1° избыток числа над 50 прибавить к 25;
2° к полученному результату приписать справа двумя знаками квадрат избытка. примеры: РИС 6.
Вот так всё просто!
IIIa. Как (легко) перемножить числа, каждое из которых лежит в диапазоне от от 91 до 99 («близкие» к ста, но меньшие 100)?
Чтобы перемножить числа от 91 до 99 нужно:
1° сумму недостатков исходных чисел до 100 отнять от 100 (или от одного числа отнять недостаток другого) ;
2° к полученному результату приписать справа двумя знаками произведение недостатков. примеры: РИС 7.
Вот так всё просто!
IIIb. Как легко перемножить числа, каждое из которых лежит в диапазоне от 101 до 109 («близкие» к ста, и большие ста)?
Чтобы перемножить числа от 101 до 109 нужно:
1° сумму избытков исходных чисел над 100 прибавить к 100 (или к одному числу прибавить избыток другого);
2° к полученному результату приписать справа двумя знаками произведение избытков. примеры: РИС 8.
Вот так всё просто!
IV. Чтобы легко перемножить два числа, каждое из которых лежит в диапазоне от 11 до 19 (например 12×16 или 13×19 или…) нужно:
1° сумму избытков исходных чисел над 10 прибавить к 10 (или к одному числу прибавить избыток другого);
2° полученный результат умножить на 10;
3° к полученному результату ПРИБАВИТЬ (не приписать, а прибавить) произведение избытков.
11×18→(избытки 1 и 8) →10 +(1+8)= 19→190→190 + 1×8 = 198;
13×15→(избытки 3 и 5) →10 +(3+5)= 18→180→180 + 3×5 = 195;
14×12→(избытки 4 и 2) →10 +(4+2)= 16→160→160 + 4×2 = 168;
14×19→(избытки 4 и 9) →10 +(4+9)= 23→230→230 + 4×9 = 266;
15×16→(избытки 5 и 6) →10 +(5+6)= 21→210→210 + 5×6 = 240;
16² = 16×16→(избытки 6 и 6) →10 +(6+6)= 22→220→220 + 6×6 = 256;
17² = 17×17→(избытки 7 и 7) →10 +(7+7)= 24→240→240 + 7×7 = 289;
18² = 18×18→(избытки 8 и 8) →10 +(8+8)= 26→260→260 + 8×8 = 324;
19² = 19×19→(избытки 9 и 9) →10 +(9+9)= 28→280→280 + 9×9 = 361;
14²→(избытки 4 и 4) →10 +(4+4)= 18→180→180 + 4×4 = 196;
13²→(избытки 3 и 3) →10 +(3+3)= 16→160→160 + 3×3 = 169;
12²→(избытки 2 и 2) →10 +(2+2)= 14→140→140 + 2×2 = 144 и.т.д…
Ещё можно запомнить (для 12² и 21², 13² и 31²):
- 12² = 144 ------------------ 21² = 441
- 13² = 169 ------------------ 31² = 961
В заключении первой части статьи хочу сказать следующее:
Вы узнали некоторые секреты, значительно упрощающие устный счёт. «Самое сложное здесь не умение (способность) считать (достаточно помнить таблицу умножения) и не заучивание алгоритма (приёмчики не особо сложные), самое сложное вспомнить (заметить) в нужный момент, что здесь можно применить тот или иной секрет умножения.»
Если Вам понравилась эта статья, то лучшее что Вы можете сделать – это освоить приёмчики-секреты и использовать их на практике. Если я увижу (замечу) интерес к данной теме, то, возможно, напишу вторую часть-продолжение. Успехов Вам.