Всем привет, дорогие любители математики! Сегодня разберем следующую задачу:
Данную задачу можно решить многими способами. Мы наметим путь графический, однако решим задачу аналитически.
Часто в задачах с параметром существуют особые точки, которые стоит рассмотреть отдельно. Здесь легко заметить, что при a = 0 решениями будут пары чисел (0 ; 1) и (1 ; 0). Далее будем считать, что а ≠ 0.
Для начала построим эскиз графика первого и второго уравнений. Первое уравнение — это, конечно, окружность радиусом 1. Второе уравнение — неизвестная гипербола, которая может расположиться в 1 и 3 (красным), или 2 и 4 четвертях (синим):
По эскизу графика можно понять две вещи:
- Ситуация симметрична относительно осей;
- Решений не будет при значении a больше [красные гиперболы], или меньше [синие гиперболы] некоторого значения (которое нам и требуется определить).
Если Вы хотите решить данное уравнение с помощью графика — нужно найти значения а, соответствующие гиперболам, выделенным жирным.
Но мы пойдем другим путем! Обратим внимание на первое уравнение, можно собрать полный квадрат, для этого добавим 2xy в левой и правой части:
Соберем полный квадрат, при этом вспомним второе уравнение и заменим xy на a в правой части:
Заметим, что правая часть должна быть больше нуля (либо равна нулю), чтобы решения были. Однако, нам нужно обратное, запишем условие и запомним:
Тут все элементарно:
Итак, первый случай с отсутствием решений разобрали. В противном случае можно извлечь корень из левой и правой частей:
Заметим, что данная система очень похожа на формулы Виета. А значит, существует квадратное уравнение, для которого x и y — корни этого уравнения:
Найдем, когда данное уравнение не будет иметь решений — тогда и исходная система не будет иметь решений:
Решим неравенство:
Итого, ответ:
Спасибо за внимание и удачи!
Если вам понравились задачи, то ставьте лайки и подписывайтесь на канал. Математики будет много!