Если из центра O эллипсиса описать окружность радиусом OA, равным его большей полуоси OB, и затем из какой нибудь точки эллипсиса M опустить на большую ось BC перпендикуляр MD, который продолжить по сию сторону точки M до встречи с описанною окружностью в точке M', то по известному свойству эллипсиса имеем: M'D/MD = EO/FO.
Отношение EO/FO, как отношение полуосей большой к малой, есть для даннаго эллипсиса величина постоянная; называя это постоянное отношение обеих полуосей через n, предъидущее равенство можно написать так:
M'D/MD=n...(I)
Но с другой стороны, если через точку М на эллипсисе провести линию MN параллельно OB до встречи с окружностью в точке N, то MD можно заменить равным ему отрезком NL, а потому равенство второе примет вид:
M'D/NL=n...(II)
2
Но из фигуры нетрудно усмотреть, что
NL = NO Sin NOB = ВО Sin BON
М'D = М'О Sin M'OB = BO . Sin BOM'
Вставляя полученныя значения для M'D и NL в уравнениe II получим:
Sin BOM' / Sin BON = n... (III)
Сравнивая оба выражения для n (II и III) мы видим, что если принять число n, то есть отношение полуосей эллипсиса, за относительнаго показателя преломления двух средин, плоскость раздела между которыми есть АЕ, а точка падения О, то, приняв M'O за луч, падающий и продолжив NO по направленно ON', линия ON' представит направление преломленнаго луча в более плотной средине, так как углы ВОМ' и BON, равный углу CON', удовлетворяют закону Декарта, ибо отношение их синусов, как это видно из уравнения III-го, есть величина постоянная. Этот вывод общий; то есть, для всякаго луча падающаго РО направление преломленнаго луча найдем, если через Р проведем линию PK параллельно плоскости раздела ЕА до встречи с эллипсисом в точке K; затем из этой точки K проведем линию KQ параллельно перпендикуляру падения до встречи с окружностью в точке Q, тогда остается соединить Q с О и продолжить линию QO по направлению OQ'. Линия OQ' представить направление, которое принимает лучь РО после преломления в более плотной средине.
На чертеже сделано и обратное пocтpoeниe, то есть, по данному направлению луча ВО в более плотной средине начерчено направление OS', которое этот луч принимает по выходе в менее плотную средину.— Для отыскания направления OS' через точку R проведена линия RТ параллельно перпендикуляру падения до встречи с эллипсисом
3
в точке Т, затем через эту точку Т проведена линия параллельная плоскости раздела ЕА до встречи с окружностью в S, линия SO продолжена по направлению OS', которое и есть направление выходящаго луча.
Применяя изложенное построение нетрудно убедиться, что равным приращениям М'oa и М'ob угла падения М'ОВ, из которых приращение М'oа положительное, а приращение М'ob отрицательное соответствуют два неравныя по величине и разныя по знаку приращения угла преломления N'oc, а именно, приращение положительное N'oa' и отрицательное N'ob'. Из чертежа видно, что знаки приращений угла преломления N'oc соответствуют знакам приращений угла падения М'ОВ, но что отрицательное приращение угла преломления больше по абсолютной величине положительнаго приращения того-же угла преломления. Этот закон общий, в чем нетрудно убедиться из чертежа.
Наоборот, если какому нибудь углу преломления ROC дадим два равныя по абсолютной величине, но разныя по знаку приращения Roc и Rod, то соответствующий угол падения в менее плотной средине S'OB получит два соответственныя по знаку и неравныя по абсолютной величине приращения S'oc' и S'od', при чем приращение положительное S'oc' больше отрицательнаго приращения S'od'.— Этот закон, как нетрудно видеть, также общий.
И так, если дан показатель преломления и направление падающаго луча, то чтобы найти направление преломленнаго луча в более плотной средине надобно начертить эллиптическую кривую, отношение осей которой равнялось бы данному показателю преломления. Центр этого эллипсиса принять за точку падения, большую ось за перпендикуляр падения, а направление меньшей оси за след плоскости раздела обеих средин; затем начертить через центр линию параллельную падающему лучу, ориентируя чертеж
4
так, чтобы большая ось эллипса была параллельна перпендикуляру падения через точку, где направление параллельное падающему лучу пересечет окружность, описанную из центра радиусом равным большей полуоси, проводим параллель плоскости раздела до встречи с эллипсисом, через эту точку проводим параллель перпендикуляру падения до встречи с окружностью. Соединив, полученную на окружности точку с центром эллипса и продолжив эту линию, получим направление преломленнаго луча.— Обратное построение понятно само собою.
Стемпневский.
Пермь
10 февраля 1887 г.
[Приложение к №№ 2 и 3 «Циркуляра по Оренбургскому учебному округу» 1888 года.]
Подписаться на канал Математика и программирование
Подписаться на канал Новости из царской России
Оглавление статей канала "Новости из царской России"
YouTube "Новости из царской России"