Из шести величин, входящих в состав треграннаго угла (трех плоских и трех двугранных углов) могут быть заданы три какия угодно, тогда задача решения треграннаго угла будет состоять в определении трех других, не заданных, величин. Разсмотрим три наиболее интересные случая: 1) когда даны три плоские угла, 2) когда даны два плоских угла и двугранный угол, между ними заключенный, и 3) когда даны два плоских угла и двугранный угол, противолежащий одному из них. В первом случае задача заключается в определении трех двугранных углов, а в двух остальных случаях в определении одного плоскаго и двух двугранных углов заданнаго треграннаго угла.
Условимся сначала ставить наш трегранный угол в такое положение, чтобы одна его грань, а следовательно и один из заданных плоских углов, лежал-бы на плоскости бумаги (на чертеже I грань ВАС). Далее предположим что трегранный угол разрезан по ребру АD и грани АВD и АСD вращением около ребер АВ и АС совмещены с плоскостью третьей грани, т. е. с плоскостью бумаги, при этом плоские углы ВАD₁ и САD₂ равны соответственно плоским углам даннаго треграннаго угла, именно ВАD₁ равен углу ВАD и САD₂ равен углу DАС,
2
точки же D₁, D₂ и представляют совмещения одной и той же точки D ребра DА, так что АD₁=АD₂ = АD.
Представим себе, что через точку D ребра АD проведены две плоскости, перпендикулярныя к плоскости бумаги, из которых первая перпендикулярна кроме того к ребру АВ, а вторая к ребру АС. Очевидно, что обе плоскости пересекутся между собою по линии Dd, перпендикулярной к плоскости бумаги. При пересечении каждой из этих плоскостей с гранями треграннаго угла образуются два косоугольных треугольника ЕDG и DFH. Каждый из этих треугольников имеет по две стороны перпендикулярныя к тому ребру треграннаго угла, которое перпендикулярно к плоскости треугольника; эти ребра заключают линейные углы двух двугранных углов треграннаго, так DEG есть линейный угол двуграннаго при ребре АВ и DFH есть линейный угол двуграннаго при ребре АС. Основания обоих треугольников EG и FH пересекаются в точке d, горизонтальной проэкции точки D ребра АD треграннаго угла. Две стороны каждаго из этих треугольников, перпендикулярныя к ребрам треграннаго угла, составляют продолжение одна другой, по совмещении граней с плоскостью бумаги, а общия их направления в этом случае перпендикулярны ребрам АВ и АС. И так, продолжая dE до пересечения с АD₁, в точке D₁, получим ЕD₁=ЕD, а продолжая dF до пересечения с АD₂ в точке D₂, получим FD₂=FD. Из сказаннаго не трудно видеть, что если известны три плоских угла, то построение какого нибудь из разсматриваемых треугольников приводится к построению треугольника по данным трем сторонам. В самом деле пусть D₁АВ, ВАС и САD₂ представляют три плоских угла треграннаго в совмещении на плоскости бумаги (черт. II), при чем точка D₁ произвольная, а линия D₂A = D₁A. Через D₁ проводим линию D₁G перпендикулярную к АВ
3
в точке Е, а через точку D₂ проводим линию D₂H, перпендикулярную к АС в точке F, соединив точки D₂ и G прямою D₂G имеем три прямыя D₁Е, ЕG и D₂G, представляющия стороны треугольника DEG, который построен. Чтобы получить треугольник DFH (черт. I) проведем в треугольнике DEG высоту Dd, очевидно, что треугольник DFH будет иметь такую-же высоту, которой основание в d; поэтому, чтобы построить треугольник DFH из точки d, пересечения линий D₁G и D₂H возставляем перпендикуляр dD₀ к линии HF и на нем откладываем от d величину dD₀ равную dD, соединив затем Н и F с D₀ получаем искомый треугольник HD₀F. Треугольник EDG дает настоящую величину двуграннаго угла DEG при ребре AB, а треугольник HFD₀ настоящую величину двуграннаго угла D₀FH при ребре AC. Чтобы получить величину третьяго двуграннаго угла при ребре AD, возставим из D₁ и D₂ перпендикуляры D₁J и D₂K к D₁A и D₂A до пересечения в точках J и K с ребрами AB и AC. Построив по трем сторонам D₁J, D₂K и JK треугольник, приняв JK за основание, угол при вершине этого треугольника, противолежащей основанию, есть линейный угол двуграннаго при ребре AD.
Когда даны два плоских угла треграннаго и двугранный угол между ними, то треугольник DEG строится по двум сторонам D₁E (точка D₁ произвольная на ребре AD₁) и EG и данному углу, котораго вершину помещают в E, приняв за одну из сторон угла линию EG (черт. III). Имея треугольник EGD, строим его высоту Dd и через точку d проводим линию HF перпендикулярно ребру AC. Воставляя к линии HF перпендикуляр dD₀ из точки d откладываем на нем dD₀ равное dD и соединяем полученную вершину D₀ с точками H и F; получаем треугольник D₀FH, в котором угол D₀FH равен двугранному при
4
ребре АС. Чтобы получить третий плоский угол треграннаго, заметим, что линия DF находится на продолжении HF и равна D₀F, а потому, продолжив HF и отложив FD равную D₀F, получим точку D₂, совмещение точки D. Если эту точку D₂ соединить с A, то угол CAD₂ будет искомый плоский. Наконец таким-же точно построением, как и в первом случае, найдем третий двугранный угол при ребре AD.
Когда даны два плоских угла BAD и BAC и двугранный противулежащий, например при ребре AC, то для построения треугольника DEG имеются только две стороны ED и EG (черт. IV). Но не трудно найти величину остраго угла DGE, зная линейный угол двуграннаго при ребре AC (перспект. чертеж I). В самом деле, представим себе, что через какую нибудь точку L на стороне DG треугольника DEG проведена плоскость, перпендикулярная к ребру AC. Плоскость эта пересечется с плоскостью треугольника DEG по линии LK, перпендикулярной к линии EG, основанию треугольника, при чем точка K будет проэкциею точки L, взятой нами произвольно на стороне DG. Проведенная плоскость пересекается с гранями треграннаго угла BAC и DAC по линиям KP и PL, перпендикулярным к ребру AC. Три линии KL, KP и PL составляют прямоугольный треугольник, в котором известны: катет PK и острый угол LPK (катет PK потому известен, что точку K на линии EG можно взять произвольно. Острый угол LPK есть линейный даннаго двуграннаго при ребре AC). Построив прямоугольный треугольник (черт. IV) LKP по катету КР и острому углу, равному линейному углу LPK заданнаго двуграннаго, определим величину линии LK. Возставляя из точки К перпендикуляр к линии EGF, котораго длина равнялась-бы LK, получим точку L на стороне DG треугольника EDG. Соединив точку G с
5
полученною точкою L получим острый угол DGE. Таким образом треугольник DEG можно построить по двум сторонам и острому углу противолежащему и определить острый угол DEG, который и будет представлять линейный угол двуграннаго угла при ребре AB. Определение прочих частей треграннаго угла сводится теперь к ранее изложенным приемам. Не трудно видеть, что так как определение двуграннаго угла при ребре AB сведено на построение треугольника по двум сторонам и углу противолежащему, а в этом случае построение дает, вообще говоря, два угла, удовлетворяющие построению, то и заданию двух плоских углов и двуграннаго противолежащаго соответствуют два трегранные угла с двумя различными двугранными углами при ребре AB.
О. Стемпневский.
Пермь
15 февраля 1888 г.
[Приложение к №№ 2 и 3 «Циркуляра по Оренбургскому учебному округу» 1888 года.]
Подписаться на канал Математика и программирование
Подписаться на канал Новости из царской России
Оглавление статей канала "Новости из царской России"
YouTube "Новости из царской России"